算法第三章上机实践报告

1.1 问题描述

设A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作包括 (1)删除一个字符； (2)插入一个字符； (3)将一个字符改为另一个字符。 将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到 B的编辑距离，记为d(A,B)。 对于给定的字符串A和字符串B，计算其编辑距离 d(A,B)。

输入：

第一行是字符串A，文件的第二行是字符串B。

提示：字符串长度不超过2000个字符。

输出：

输出编辑距离d(A,B)

 

1.2 算法描述

通过找规律找到删除，插入，修改这三个操作的状态转移方程。

定义dp[i][j]为：把串A的第1到i位变成串B的第1到j位的最小步骤。（从1开始，因为0表示空串）。

然后i从1-A.size()遍历，j从1-B.size()遍历——答案就是dp[A.size()][B.size()];

 

1.3 问题求解：

1.1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式

修改：

令string a="ab",string b="ac";想让ab变成ac，其实就是让ab、ac都退一步变为a、a，然后把a加上c；

退一步就是变成dp[i-1][j-1],加c就是再+1；

即：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

 

插入：

一般情况下，如果要插入，那么A.size()<B.size();

令string a="ab",string b="cde";

想让ab变成cde：ab先变成cd，再+e；

ab变成cd即dp[i][j]=dp[i][j-1];

加e即要+1；

即：dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;

 

删除：与插入同理。

dp[i][j]=dp[i-1][j]+1;

 

1.1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。

维度：二维。因为要字符串逐一比较。

填表范围：i从1到a.size()，j从1到b.size();

填表顺序：外层循环i，从1加到a.size()；内层循环j，从1加到b.size()。

 

1.1.3 分析该算法的时间和空间复杂度

时间复杂度：O(n²)  二重循环。

空间复杂度：O(n²)  二维数组。

 

1.3 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

本次实验四道题正好是四种动态规划典型题。

最低通行费：二维数组，规定了只能走的方向（右，下），那么每个点都只能从左、上得到（除了边界），是一个斐波那契数列变形。

最大子段和：前面的数字和不是负数就可以加上。每个dp[i]都要看dp[i-1]。经典的动态规划。

单调递增最长子序列：跟最大字段和类似。

编辑距离问题：可以体现dp定义的妙处。

本次实验的四道题能让我们明显的体会到动态规划的特点、共性，更深刻的了解了动态规划的思想。

 

2.你对动态规划算法的理解和体会

动态规划，是利用历史记录来避免重复计算的一种算法，是求解决策过程最优化的过程。

因此，很多求“最长最短”“最大最小”都可以用动态规划。

“将原问题拆解成若干子问题，同时保存子问题的答案，使每个子问题只求解一次，最终获得原问题的答案。”