机器学习之逻辑回归（二）

二项逻辑回归模型是如下的条件概率分布：

 

其中x∈是输入，y∈{0，1}是输出。

为了方便，将权值向量和输入向量进行扩充，此时w = ,x = ,回归模型表示如下：

 

 

 

参数w未知，采用统计学中的极大似然估计来由样本估计参数w。对于0-1分布x ~ B(1 , p)，x的概率密度函数可以表示为：

 

其中k = 0或1。

构造极大似然函数：

 

取对数得：

 

同理对于二项逻辑回归，我们令：

 

则其似然函数为：

 

其中yi取值为0或1。

取对数得：

 

求上式的最大值等价于对上式取负号后的最小值问题，得：

 

问题就转换成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题，对于该最优化问题常使用梯度下降法或拟牛顿法。

通常把逻辑回归问题的代价函数定义成以上形式，对数似然函数在y=0或是y=1其图像如下如所示

　　这样可以保证代价函数是一个凸函数，使用梯度下降算法时，可以得到全局最优解。