零点存在定理与介值定理

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Bolzano-Cauchy第一定理

设实数 a<b ，设 f:\left[ a,b \right]\rightarrow\mathbb{R} 是在闭区间 \left[ a,b \right] 上的连续函数，并且满足条件 f\left( a \right)f\left( b \right)<0 .

则存在点 c\in\left( a,b \right) ，使得 f\left( c \right)=0

该定理又被称作零点定理、零值定理、零点存在定理、根的存在定理，等等

 

 

Bolzano-Cauchy第二定理

设 f:\mathcal{X}\rightarrow\mathbb{R} 是定义在某区间 \mathcal{X} 上的连续函数，设实数 a,b 是区间 \mathcal{X} 内的两点，并且满足 a<b ，令 f\left( a \right)\ne f\left( b \right) .

设 \mu 为介于 f\left( a \right) 与 f\left( b \right) 之间的任意实数（要么 f\left( a \right)<\mu<f\left( b \right) ，要么 f\left( a \right)>\mu>f\left( b \right) ）

则存在点 c\in\left( a,b \right) ，使得 f\left( c \right)=\mu

该定理又被称作介值定理、中间值定理等

它还经常被等价描述为：区间上连续函数的值域必为区间

 

从内容上，介值定理包含零值定理，但实际上二者是等价的，证明其中一个，就极其容易推出另一个. 一般先证明零值定理，再推出介值定理居多.

posted @ 2019-05-07 06:30  梅花GG  阅读(3345)  评论(0)  编辑  收藏  举报