《 动态规划_ 放苹果 》

问题 F: 放苹果

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题目描述

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

输入

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

输出

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

样例输入

2
6 3
7 2

样例输出

7
4

提示

 

解题分析：

         设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，

         当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　

         当n<=m：不同的放法可以分成两类：

         1、有至少一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1);  

         2、所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n).

         而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 

     递归出口条件说明：

         当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；

         当没有苹果可放时，定义为１种放法；

         递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1; 

         第二条m会逐渐减少，因为n>m时，我们会return f(m,m)　所以终会到达出口m==0．

 

 

 

Java代码实现:(完全没有优化，纯递归实现)

 

 

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    public static int recursion(int m,int n){
        //递归终止条件
        if(n==1||m==1){
            return 1;
        }
        //盘子比苹果多的情况
        else if(n>m){
            return recursion(m, m);
        }
        else if(n==m){
            return recursion(m, n-1)+1;
        }
        else{
            //这种是所有盘子都有苹果的情况加上 有空盘子的情况
            return recursion(m, n-1)+recursion(m-n, n);
        }
    
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int t = cin.nextInt();
        for(int index = 0;index<t;index++)
        {
            int m = cin.nextInt();
            int n = cin.nextInt();
            System.out.println(recursion(m, n));
        }
    }

}