动态规划入门_数塔问题
在讲述DP算法的时候,一个经典的例子就是数塔问题,它是这样描述的:
有如下所示的数塔,要求从顶层走到底层,若每一步只能走到相邻的结点,则经过的结点的数字之和最大是多少?
已经告诉你了,这是个DP的题目,你能AC吗?
有如下所示的数塔,要求从顶层走到底层,若每一步只能走到相邻的结点,则经过的结点的数字之和最大是多少?
已经告诉你了,这是个DP的题目,你能AC吗?
Input输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数,每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100),表示数塔的高度,接下来用N行数字表示数塔,其中第i行有个i个整数,且所有的整数均在区间[0,99]内。
Output对于每个测试实例,输出可能得到的最大和,每个实例的输出占一行。
Sample Input
1 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5
Sample Output
30
(下面这段讲解从别人博客 复制的,地址:https://blog.csdn.net/hpu2022/article/details/81487979)
我们知道,从定点开始每次只有两个方向,左下和右下,要想知道如何走才能得到最大值,我们只需要知道它的两个子节点的如何走才能得到最大值,相同的情况我们又可以问它的子节点的子节点,这样重复下去一直都爱最后一行。
故最后的状态转移方程式 dp[i][j] = num[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]); 注意这是倒推的,就好像我们只有知道了地 i+1个才能知道第i个。仔细想一想为什么递推完成后dp[1][1]就是最大值呢?(从循环条件中找答案)
Java实现代码:
import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); int n = cin.nextInt(); for(int index= 0;index<n;index++) { int [][] data = new int [110][110]; int [][] dp = new int [110][110]; int h = cin.nextInt(); for(int i =1;i<=h;i++){ for(int j = 1;j<=i;j++){ data[i][j] = cin.nextInt(); } } for(int i = 1;i<=h;i++){ dp[h][i] = data[h][i]; } for(int i = h-1;i>=1;i--){ for(int j = 1;j<=i;j++){ dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+data[i][j]; } } System.out.println(dp[1][1]); } } }
总结递归方程 dp [ i ][ j ] = max(dp [ i+1] [ j ], dp[ i+1 ] [ j +1 ] + data [ i ] [ j ];