多视图几何思考题
- 通过把0定义齐次坐标，为什么在直角坐标系下 \(x= l_1 \times l_2\) 可表示点 \(x\) 为 \(l_1\)、\(l_2\)的交点？当两直线平行时交点位于什么位置？解释几何意义
因为 \(l_1^T·l_1 =l_1^T·l_2 = 0\)，可知x在两个直线上，因此为交点。
位于无穷远平面 \(\pi_{\infty}\)
几何意义为，把O点至\(IP^2\)的点\(x_1,x_2\)，O与直线l构成的平面
- 1D射影变换中，若变换矩阵\(H_{2\times 2}\)不满秩，那么射影变换 \(x'=Hx\) 有什么样的成像特点？
无论x为何值，最后都映射到同一点。
- 仿照2D射影坐标系的建立，建立3D射影坐标系，写出其基本点的齐次坐标？
原点（0，0，0，1）
- 2D射影变换中，点射影关系为\(x'=Hx\)，那么直线\(l\)，二次曲线\(C\)在2D射影空间中的像\(l'\)，\(C'\)是什么？（代数关系）
直线 \({l'}^Tx'={l'}^THx\)，\(l'=H^{-T}l\),
二次曲线 \(C'=H^{-T}CH^{-1}\)
- 在射影变换过程中，共点四线的交比为射影不变量？
交比不变性？？？
- 二维射影平面上无穷远直线的齐次坐标？三维射影空间内无穷远平面\(\pi_{\infty}\)
\(l=(0,0,1)\), \(\pi_{\infty}=(0,0,0,1)\)
- 用Pluckor矩阵表示空间直线\(L = AB^T -BA^T\),\(A\)、\(B\)为\(L\)上两点，\(L\)与平面\(\pi\)交于\(x\)，则\(x = L\pi\)？为什么？当\(L\pi = 0\)有何几何意义？
因为\(L \times (L \pi)=0\) ,\(\pi \times (L\pi)=0\)，因此既在直线上，又在平面上。
说明平面与直线的交点位于无穷远点（0，0，0，0），也即直线位于平面上。
- 二次曲面\(Q\)上有一点\(A\)，为什么\(\pi = QA\)即为过点\(A\)的\(Q\)的切平面
？？？
- 为什么绝对二次曲线上的点都是纯虚点？
绝对二次曲线为 \(\pi_{\infty}\) 上的二次曲线，满足\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\),\(x_4 = 0\),因此上面的所有x均为纯虚点。
- 但这意味着也为虚圆点么？？？
- 绝对二次曲线的像w具有怎样的表达形式？利用\(w\)如何实现相机的标定？
？？？
- 摄影相机矩阵\(P_{3\times 4}\)，当其秩为2和1时，成像特点是什么样的？
？？？
- 走直线，看月亮，月亮几乎不动，为什么？
\(H = K(R-tn^T/d){K'}^{-1}\) 可得 \(\Delta x = x' - x = (H-I)x = K(R-I-tn^T/d){K'}^{-1}\)，走直线，\(R = I\)，而月亮很远，\(d\)可为无穷大，因此\(\Delta x\)为0，也即月亮几乎不动
- 移动中看照片中的人像，其眼睛始终盯着观察者，为什么？
蒙娜丽莎hhh
- 相机相对其中心C作纯旋转R，空间中一点x在相机旋转前后成的像\(x\)与\(x'\)有什么关系？
\(H = K(R-tn^T/d)K^{-1}=KRK^{-1}\)，也即 \(x' = Hx = KRK^{-1}x\)
- 仿射相机矩阵P形式上的特点？对无穷远点成像的结果是什么样的？
P的最后一行为（0，0，0，1），将无穷远点成像在无穷远平面上。
- 二位射影图像如何实现仿射矫正（恢复）？
？？？
- \(P_{3\times 4}\)为相机矩阵，\(C\)为空间点，\(PC=0\)说明\(C\)为相机中心，为什么？\(P_{121}\)
因为？？？
-
双目视觉系统\((P, P'), P=K[I|0]，P'=K'[R|t]，\)
-
双目视觉系统基本矩阵F，在3D射影变换\(H_{4\times 4}\)下不变，即两系统\((P, P')\)，\((PH, P'H)\)的基本矩阵F相同，为什么？
因为\(F = [e']_{\times}P_0'P_0^+=[e']_{\times}P'H(PH)^+=[e']_{\times}P'HH^{-1}P^+=[e']_{\times}P'P^+\)，与变换前相同
- \(P_{152}\)：相机\(P\)对像平面上的像直线\(l\)反投影得平面\(\pi\)，为什么\(\pi = P^Tl\)
点\(x\)在\(l\)上的充要条件为\(x^Tl=0\)，空间点X的图像点PX在直线l上的充要条件为\(X^TP^Tl=0\)，因此如果令\(P^Tl\)表示一个平面，那么X在此平面上的充要条件为\(X^TP^Tl=0\)，也即\(P^Tl\)为l的反向投影
- 对于双目系统\((PH, P'H)\)，\(P=K[I|0] (K=I)\)进行仿射重构为什么重构结果相当于空间点的\(x_3,x_4\)交换位置？
\(P_0=PI'\) 为仿射相机，而 \(x' = Px = PI'I'x=P_0x_0\)，也即进行调整后依旧构成仿射重构。
- 为什么说仿射相机没有主点？
因为仿射相机的主平面为无穷远平面，而无穷远平面的主轴为任意方向，因此主轴与图像平面的交点不存在。
