HDU-6574 Rng (计数、概率)

题目链接：HDU-6574 Rng

题意

给出一个\(n(1\leq n \leq 10^6)\)，生成一个区间的方法为：在\([1,n]\)中等概率随机生成一个\(R\)，再在\([1,R]\)中等概率随机生成一个\(L\)，\([L,R]\)就是生成的区间。用这样的方法生成两个区间，问这两个区间相交的概率。

---

思路

相交的概率不好求，将问题求两区间相交概率转换为（1 - 两区间不相交概率）。
设两区间分别为\([L_1,R_1]\)和\([L_2,R_2]\)，两区间不相交即 \(min(R_1,R_2) < max(L_1, L_2)\)，随机生成两个区间的过程可转换为随机生成两个数 a 和 b ，作为 \(min(R_1, R_2)\) 和 \(max(L_1, L_2)\)，因为只要这两个确定了，另外的端点无论是多少都不影响线段是否相交。在 [1, n] 中生成两个数的总方案数为 \(n^2\)。
令两区间不相交的方案数为：

\[\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n(b>a) = \sum_{a=1}^n\sum_{b=a+1}^n1 = \sum_{a=1}^nn-a=\frac{n (n - 1)}{2} \]

则不相交概率为：\(\frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{n-1}{2n}\) 。
相交概率为：\(1-\frac{n-1}{2n}=\frac{n+1}{2n}\)。