最大权闭合子图
最大权闭合子图
定义
闭合图：在一个图\(G=(V,E)\)中，若点集\(V\)中任意点连接的任意出弧，所指向的终点也在\(V\)中，则图\(G\)为闭合图。
对于一个有向图，每一个点都有一个权值(可以为正或负或0)，选择一个权值和最大的子图，满足子图中每个点的后继结点也在这个子图里，这个子图就叫最大权闭合子图。
详解
解法：
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先抽象出源点、汇点；
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将权值为正的点和源点连接，边的容量为这个点的权值；
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将权值为负的点和汇点连接，边的容量为这个点权值的绝对值；
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然后除了源点、汇点之外的点原本怎么连就怎么连，且容量为无穷大；
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最大权闭合子图权值 = 所有权值为正的点权值之和 - 以上构建的流网络的最小割(也即最大流)
详细描述如下：
首先有一个有向连通图\(G\)，每个点带有一个权值，例如：
此时，构建一个源点\(s\)，一个汇点\(t\)，所有的点按权值的正负连接到\(s\)和\(t\)上，转换成一个边权值有向图，如下图：
可以得出以下性质：
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该流网络的最小割，是简单割；
简单割：割集中所有的边，都与\(s\)或\(t\)相连接。
显然的，因为不与连的边，权值都是INF，最小割不可能割在INF的边上；
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该图中的每一个简单割产生的两个子图，我们记含有源点\(s\)的是图\(S\)，\(S\)中属于原图\(G\)的结点和边(即去掉\(s\)和与\(s\)相连的边)构成图\(S'\)，含有汇点\(t\)的是图\(T\)，\(T\)中属于原图\(G\)的结点和边(即去掉\(t\)和与\(t\)相连的边)构成图\(T'\)，则图\(S'\)是闭合图；
证明：① 简单割内不包含边权为INF的边，即割边不含有连通\(S'\)和\(T'\)的边；
② 流网络的割令图\(S\)中没有边与图\(T\)连通，又\(S'\in S, T'\in T\)，则图\(S'\)中没有边与图\(T'\)连通；
那么，图\(S'\)所有的边都只能连接在\(S’\)之内，即为闭合图。
样例：
上图中，图\(S\)去掉\(s\)和容量为7的边即为图\(S'\)，图\(T\)去掉\(t\)和容量为6的边即为\(T'\)，显然图\(S'\)为原图\(G\)的一个闭合子图。
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最小割产生的图\(S'\)为原图\(G\)的最大权闭合子图；
我们记割集中，所有连接在\(s\)上的边的权值和为\(x_1\)，所有连接在\(t\)上的边的权值和为\(x_2\)，而割集中所有边权值和为\(X=x_1+x_2\)；记图\(S'\)中所有点的权值和为\(W\)，记其中正权值之和为\(w_1\)，负权值之和为\(-w_2\)，故\(W = w_1 - w_2\)；
则 \(W + X = w_1 - w_2 + x_1 + x_2\)，由于\(x_2 = w_2\)（因为图\(S'\)中所有负权值的点，必然连接到\(t\)点，而图\(S'\)必然要与\(t\)分割开；故“割集中连接在\(t\)点上的边权值和”就是“图\(S'\)中所有负权值点的权值之和取负”），因而\(W + X = w_1 + x_1\)；
显然的，\(w1 + x1\)是整个图\(G\)中所有正权值之和，记为\(sum\)，故\(W=sum - X\)，即 “图\(S'\)中所有点的权值和” = “整个图\(G\)中所有正权值之和” - “割集中所有边权值和”；
由于\(sum\)为定值，只要我们取最小割，则“图\(S'\)中所有点的权值和”就是最大的，即此时图\(S'\)为图\(G\)的最大权闭合子图；
最后，我们就有了求解这类问题的完整思路：
① 先记录整个图中，所有正点权值的和；
② 根据问题模型建立对应流网络，求最大流，最大流在数值上等于最小割，故我们得到了流网络的最小割；
③ “所有正点权值的和”减去“流网络的最小割”，即得最大权闭合子图的权值和。
修改自https://www.cnblogs.com/dilthey/p/7565206.html
