五家共井（第1届第3题）

题目要求

       问题描述：

       古代数学巨著《九章算数》中有这么一道题叫“五家共井，甲二绠（汲水用的井绳）不足，如（接上）乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠，皆及。

       翻译成白话意思就是：五家人共用一口井，甲家的绳子用两条不够，还要再用乙家的绳子一条才能打到井水；乙家的绳子用三条不够，还要再用丙家的绳子一条才能打到井水；丙家的绳子用四条不够，还要再用丁家的绳子一条才能打到井水；丁家的绳子用五条不够，还要再用戊家的绳子一条才能打到井水；戊家的绳子用六条不够，还要再用甲家的绳子一条才能打到井水。

       最后问：井有多深？每家的绳子各有多长？

       样例输入：无

       样例输出：各家绳长以及井深。

解决方案

       翻译成白话后，此题秒懂。

       设甲乙丙丁戊各家绳长分别为a,b,c,d,e，井深为h，则：

2a + b = h   ①

3b + c = h   ②

4c + d = h   ③

5d + e = h   ④

6e + a = h   ⑤

       观察此方程组，5个等式，6个未知数，那么如果方程一定有多组解，即解不唯一。

       整理上述方程组可得：

a=(265/721)h

b=(191/721)h

c=(148/721)h

d=(129/721)h

e=(76/721)h

       以此为切入点，我们这里假设绳长、井深均为正整数，且井深不会超过一万米，且那么井深可能的最小取值为721，此时a、b、c、d、e大小分别为265、191、148、129、76。

源码示例

 略

结果展示

略

小结

       这个题看似简单，实际也很简单，稍加换算便可得出需要的结果，但是如果需求变了呢？换成上百个人错综复杂的关系，再去手动解是不是得累死？如果用循环死磕，那么电脑会累死。如果先化简一部分再交给电脑处理，又不知道化简到什么地步让电脑处理最合适...

       有没有一种通用的解法来解这种题？换句话说用没有通用的算法来解多元一次方程组？有的，利用矩阵！

       线性代数里学过用矩阵的初等变换解多元一次方程组（高斯消元法），所以只需要编一些针对矩阵初等变换的函数，以后遇到这种题就可以直接输入系数求解了。

       这个算法好不好编？其实也不难，无非就是循环加判断，有时间不妨一试！