阿里校招笔试的一道逻辑题

最近在@研究者July 的微博上看到一道有趣的逻辑题，是阿里巴巴2016年校招笔试题，原微博地址如下：http://weibo.com/1580904460/CyEfEyOT6?type=comment#_rnd1441345987133 。顺便说一下，读书的时候@研究者July的博客我也是经常看的，学到不少东西。在这里把这道题搬过来，并给出自己的解法。

是一道选择题，原题如下：

1， 2， 3， …… ， 49， 50里选择一个集合S，使得若x属于S，则2x不属于S，则S最多能有（）个元素。

A. 25    B. 27     C. 30     D. 33     E. 36     F. 37

 

这道题如果直接暴力求解也可以很快得到答案，本文想给出一个一般化的解法。

假设最大的数不是50，而是n。根据题意，我们只需将1到n之间所有有2倍关系的数连接起来构造一个“二倍链”，因为不同的二倍链之间不会相互干扰，所以可以单独考虑每个二倍链最多能取多少个数，然后将所有二倍链可取的数目加起来即可。

比如n=11，那么所有的二倍链有：

1--2--4--8

3--6

5--10

7

9

11

我们发现，每个二倍链的第一个数一定是奇数；如果是偶数，因为偶数一定是某个数的二倍，所以一定已经在前面的二倍链中出现过。另外，如果从一个二倍链中取某一个数，那么这个数左右两边的数（如果有）就不能再取了，即满足“相邻互斥性”。

接着，我们要计算每个二倍链最多能拿出多少个数构成集合S。这里先给出结论，对于长度为len的链，最多可以取个数构成集合S。当然这个结论需要严格的证明，证明过程也不难，这里做简化说明。

当len为偶数时，只需要在二倍链中间隔取数即可，所以共可取len/2个数。当len为奇数时，要从第一个数开始间隔取数，这样首尾两个数都能取到，所以最多可以取(len + 1) / 2 个数。例如，对于二倍链1--2--4--8，既可以取{1, 4}，也可以取{2, 8}；而对于1--2--4--8--16，只能取{1, 4, 16}是最多的。所以问题转化成求每个二倍链的长度。

更进一步，其实每个二倍链是这样的结构（不妨设n为奇数）：

PS:以上最后一个二倍链只有n本身。

所以每个以奇数c开始的二倍链的长度为，其中为

故S中元素的最大个数为

同理，当n为偶数时，S中元素的最大个数为

最后再废话一下，上面两式可以合并为一个式子表示。假设m为小于n的最大奇数，那么

因此（1）（2）两式可以合并写为

 最后，当n = 50时，带入（4）式，用matlab命令

>> sum(floor(log2(n ./ [1 : 2 : n - 1]) / 2)) + n / 2

容易求出结果为33，因此答案为D。