划分树学习笔记
今天没事就去刷以前hdu做过但是没过的题，前面的题现在还是能过的，做到这题就卡了，传说中的划分树，只闻其名未见其身。然后搜索了一下划分树的资料，擦擦擦，这不就是同快排的原理+线段树的操作，两者一融合进化成了划分树么。前面两个都会，学习起来倍感轻松。
建树过程： 先对区间[1，n]内所有元素进行排序，未排序之前的数列赋值给线段树的第一层元素（tree[0][i]），然后就是同快排的原理以排序后中间元素为参照，小于它的放在树下一层的左边，大于它的放在树下一层的右边（划分树建树以中间元素为参照，快排以第一关键元素为参照）。然后再开一个sum数组，sum[d][i]表示第d层前i个元素有多少个元素小于as[mid]（as[mid]为排序后的中间值），这样一层一层建树下去最后建完树后等于对原数列排好了序。
查询过程： 这里最关键了。在查找区间[tl，tr]时，往下查询[tl，tr]左右孩子时，都要对区间[tl，tr]进行更新。
定义两个数s， ss， d表示第d层， k（k表示要查询的第k元素） ：
s 表示区间[l，tl]有多少个元素小于as[mid]， s=sum[d][tl-1]；
ss 表示区间[tl，tr]有多少个元素小于as[mid]， ss=sum[d][tr]-s；
if（ss>=k) 则下一层查询区间为[l+s，l+s+ss-1]；
else 则下一层查询区间为[mid+1+tl-l-s，mid+1+tr-l-s-ss];
自己懒，不愿画图多解释，借用一下小媛姐姐的图。
分析一下算法复杂度： 建树nlogn+查询mlogn，很强大的说。
题目链接：hdu2665 kth number
题目大意：O（-1）
解题思路：O（-1）
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1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 7 const int maxn=100005; 8 int sum[20][maxn], tree[20][maxn]; 9 int a[maxn], as[maxn]; ///原数组， 排序后数组 10 11 void Build(int d, int l, int r) 12 { 13 int mid=(l+r)>>1, lp=l, rp=mid+1, lm=mid-l+1; 14 for(int i=l; i<=mid; i++) 15 if(as[i]<as[mid]) lm--; ///!!! 先假设前mid-l+1个数都等于as[mid]，as[i]比它小则减1 16 for(int i=l; i<=r; i++) 17 { 18 if(i==l) sum[d][i]=0; ///sum[d][i]表示第d层前i个数有多少个小于as[mid] 19 else sum[d][i]=sum[d][i-1]; 20 if(tree[d][i]==as[mid]) 21 { 22 if(lm) lm--, sum[d][i]++, tree[d+1][lp++]=tree[d][i]; 23 else tree[d+1][rp++]=tree[d][i]; 24 } 25 else if(tree[d][i]<as[mid]) sum[d][i]++, tree[d+1][lp++]=tree[d][i]; 26 else tree[d+1][rp++]=tree[d][i]; 27 } 28 if(l==r) return ; 29 Build(d+1,l,mid); 30 Build(d+1,mid+1,r); 31 } 32 33 int Query(int d, int l, int r, int tl, int tr, int k) 34 { 35 int s, ss, mid=(l+r)>>1; 36 if(l==r) return tree[d][l]; 37 if(l==tl) s=0, ss=sum[d][tr]; ///！！特判 38 else s=sum[d][tl-1], ss=sum[d][tr]-s; 39 if(ss>=k) return Query(d+1,l,mid,l+s,l+s+ss-1,k); 40 else return Query(d+1,mid+1,r,mid+1+tl-l-s,mid+1+tr-l-s-ss,k-ss); 41 } 42 43 int main() 44 { 45 int T, n, m; 46 cin >> T; 47 while(T--) 48 { 49 scanf("%d%d",&n,&m); 50 for(int i=1; i<=n; i++) 51 { 52 scanf("%d",a+i); 53 tree[0][i]=as[i]=a[i]; 54 } 55 sort(as+1,as+n+1); 56 Build(0,1,n); 57 while(m--) 58 { 59 int l, r, k; 60 scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); 61 int ans=Query(0,1,n,l,r,k); 62 printf("%d\n",ans); 63 } 64 } 65 return 0; 66 }
题目链接：hdu3743 minimum sum
题目大意：给你一个有n个数的数列，然后有m次询问[l，r]，让你在[l，r]中找一个数x使得|Xi-x|最小（l<=i<=r）.
解题思路：初中知识可知，形如|Xi-x|最小，那么必定是找排序后区间的中位数了。区间[l，r]的中位数必定是第k（（r-l+2）/2）位。
假设一段区间排序后是x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x4是中位数，那么题要求的答案不就是（x4-x1）+（x4-x2）+（x4-x3）+（x5-x4）+（x6-x4）+（x7-x4）=（x5+x6+x7）-（x1+x2+x3）。
结果分为了比中位数大的数和比中位数小的数，啊哈，这不就是要我们求第k元素么，这个k值固定了而已（中位数）。这里需要多开一个数组tol来记录第d层前i个数的和。当查询到第d层时，如果所求的ss比k大，则结果ans加上被分到右边的数，向左下层继续查询。如果ss比k小，则结果ans减去分到左边的数，向右下层继续查询。
注意区间奇偶判定以及数的范围。
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1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 7 const int maxn=100005; 8 typedef long long lld; 9 int sum[20][maxn], tree[20][maxn]; 10 lld tol[20][maxn]; ///!!! 11 int a[maxn], as[maxn]; 12 13 void Build(int d, int l, int r) 14 { 15 int mid=(l+r)>>1, lp=l, rp=mid+1, lm=mid-l+1; 16 for(int i=l; i<=r; i++) 17 { 18 if(as[i]<as[mid]) lm--; 19 if(i==l) tol[d][i]=tree[d][i]; 20 else tol[d][i]=tol[d][i-1]+tree[d][i]; 21 } 22 for(int i=l; i<=r; i++) 23 { 24 if(i==l) sum[d][i]=0; 25 else sum[d][i]=sum[d][i-1]; 26 if(tree[d][i]==as[mid]) 27 { 28 if(lm) lm--, sum[d][i]++, tree[d+1][lp++]=tree[d][i]; 29 else tree[d+1][rp++]=tree[d][i]; 30 } 31 else if(tree[d][i]<as[mid]) sum[d][i]++, tree[d+1][lp++]=tree[d][i]; 32 else tree[d+1][rp++]=tree[d][i]; 33 } 34 if(l==r) return ; 35 Build(d+1,l,mid); 36 Build(d+1,mid+1,r); 37 } 38 39 lld Query(int d, int l, int r, int tl, int tr, int k, lld &ret) 40 { 41 if(l==r) return tree[d][l]; 42 int mid=(l+r)>>1, s, ss, ql, qr; 43 if(tl==l) s=0, ss=sum[d][tr]; 44 else s=sum[d][tl-1], ss=sum[d][tr]-s; 45 int x=tl-l-s, xx=tr-tl+1-ss; 46 if(ss>=k) 47 { 48 ql=mid+1+x, qr=ql+xx-1; 49 if(xx>0) ret+=tol[d+1][qr]-(x>0?tol[d+1][ql-1]:0); 50 return Query(d+1,l,mid,l+s,l+s+ss-1,k,ret); 51 } 52 else 53 { 54 ql=l+s, qr=l+s+ss-1; 55 if(ss>0) ret-=tol[d+1][qr]-(s>0?tol[d+1][ql-1]:0); 56 return Query(d+1,mid+1,r,mid+1+x,mid+1+x+xx-1,k-ss,ret); 57 } 58 } 59 60 int main() 61 { 62 int n, m, T, tcase=0; 63 cin >> T; 64 while(T--) 65 { 66 scanf("%d",&n); 67 for(int i=1; i<=n; i++) 68 { 69 scanf("%d",a+i); 70 tree[0][i]=as[i]=a[i]; 71 } 72 sort(as+1,as+n+1); 73 Build(0,1,n); 74 scanf("%d",&m); 75 printf("Case #%d:\n",++tcase); 76 while(m--) 77 { 78 int l, r; 79 scanf("%d%d",&l,&r); 80 lld ret=0, len=r-l+1; 81 lld tp=Query(0,1,n,l+1,r+1,(len+1)/2,ret); 82 if(len%2==0) ret-=tp; 83 printf("%I64d\n",ret); 84 } 85 puts(""); 86 } 87 return 0; 88 }
