【HDU 3037】大数组合取模之Lucas定理

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

题目大意：求在n棵树上摘不超过m颗豆子的方案，结果对p取模。

 

解题思路：

题目可以转换成  x1+x2+……+xn=m 有多少组解，m在题中可以取0~m。

利用插板法可以得出x1+x2+……+xn=m解的个数为C（n+m-1，m）；

则题目解的个数可以转换成求   sum=C（n+m-1，0）+C（n+m-1，1）+C（n+m-1，2）……+C（n+m-1，m）

利用公式C（n，r）=C（n-1，r）+C（n-1，r-1）  == >  sum=C（n+m，m）。

现在就是要求C（n+m，m）%p。

因为n，m很大，这里可以直接套用Lucas定理的模板即可。

Lucas（n，m，p）=C（n%p，m%p，p）*Lucas（n/p，m/p，p）；   ///这里可以采用对n分段递归求解，

Lucas（x，0，p）=1；

将n，m分解变小之后问题又转换成了求（a/b）%p。

（a/b）%p可以转换成a*Inv（b，p）  Inv（b，p）为b对p的逆元。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long lld;
lld  n, m, p;

lld Ext_gcd(lld a,lld b,lld &x,lld &y){
   if(b==0) { x=1, y=0; return a; }
   lld ret= Ext_gcd(b,a%b,y,x);
   y-= a/b*x;
   return ret;
}
lld Inv(lld a,int m){   ///求逆元
   lld d,x,y,t= (lld)m;
   d= Ext_gcd(a,t,x,y);
   if(d==1) return (x%t+t)%t;
   return -1;
}

lld Cm(lld n, lld m, lld p)  ///组合数学
{
    lld a=1, b=1;
    if(m>n) return 0;
    while(m)
    {
        a=(a*n)%p;
        b=(b*m)%p;
        m--;
        n--;
    }
    return (lld)a*Inv(b,p)%p;  ///（a/b）%p 等价于 a*（b，p）的逆元
}

int Lucas(lld n, lld m, lld p)  ///把n分段递归求解相乘
{
    if(m==0) return 1;
    return (lld)Cm(n%p,m%p,p)*(lld)Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

int main()
{
    int  T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        printf("%d\n",Lucas(n+m,m,p));
    }
    return 0;
}