「NOI2017」泳池
DP式子比后面的东西难推多了
题意
给定一个长度为$ n$高为$ \infty$的矩形
每个点有$ 1-P$的概率不可被选择
求最大的和底边重合的不包含不可选点的矩形的面积为$ K$的概率
$ n \leq 10^9 k \leq 10^3$
题解
K可以出到50000的
首先考虑DP
面积恰好为$ K$的概率可以差分为不高于$ K$的概率减去不高于$ K-1$的概率
设$ f[i][j]$表示长度为$ i$的矩形，从底边起$ j$行都可选，最大面积不大于$ K$的概率
边界为$ f[0][j]=1,f[i][j]=0 当且仅当i*j>k$
考虑转移，要么第$ j+1$行也都可选，要么第$ j+1$行有不可选的位置
对于第二种情况我们枚举从左到右第一个不可选的位置
有转移方程式
$$f[i][j]=f[i][j+1]*P^i+\sum_{k=1}^iP^{k-1}(1-P)f[k-1][j+1]·f[i-k][j]$$
我们要求的是$ f[n][0]$
由于$ i*j \leq K$因此复杂度大致是$ n·k \log k$的
可以得$ 70$分
容易发现当$ n$远大于$ k$的时候，每连续$ k$列必然有一列最低端有不可选点
令$ F[i]$表示当$ i>k$时，长度为$ i$的矩形的答案
枚举从右往左第一个不可选点，有转移方程式
$$ F[i]=f[i-k]*(1-P)*f[k-1][1]*P^{k-1}$$
这是一个线性递推的标准形式，可以用特征多项式优化到$ O(k^2 \log n)$甚至$ O(k \log k \log n)$
如果采用后一种的话复杂度的瓶颈在于前面的$ O(k^2)DP$，这部分可以用分治$ NTT$优化
然而我并没有写
代码
#include<ctime> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #include<vector> #define p 998244353 #define rt register int #define ll long long using namespace std; inline ll read(){ ll x=0;char zf=1;char ch=getchar(); while(ch!='-'&&!isdigit(ch))ch=getchar(); if(ch=='-')zf=-1,ch=getchar(); while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*zf; } void write(ll y){if(y<0)putchar('-'),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);} void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');} namespace poly{ vector<int>R; int ksm(int x,int y=p-2){ int ans=1; for(rt i=y;i;i>>=1,x=1ll*x*x%p)if(i&1)ans=1ll*ans*x%p; return ans; } void NTT(int n,vector<int>&A,int fla){ A.resize(n); for(rt i=0;i<n;i++)if(i>R[i])swap(A[i],A[R[i]]); for(rt i=1;i<n;i<<=1){ int w=ksm(3,(p-1)/2/i); for(rt j=0;j<n;j+=i<<1){ int K=1; for(rt k=0;k<i;k++,K=1ll*K*w%p){ int x=A[j+k],y=1ll*K*A[i+j+k]%p; A[j+k]=(x+y)%p,A[i+j+k]=(x-y)%p; } } } if(fla==-1){ reverse(A.begin()+1,A.end()); int invn=ksm(n); for(rt i=0;i<n;i++)A[i]=1ll*A[i]*invn%p; } } vector<int>Mul(vector<int>x,vector<int>y){ int lim=1,sz=x.size()+y.size()-1; while(lim<=sz)lim<<=1;R.resize(lim); for(rt i=0;i<lim;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|(i&1)*(lim>>1); NTT(lim,x,1);NTT(lim,y,1); for(rt i=0;i<lim;i++)x[i]=1ll*x[i]*y[i]%p; NTT(lim,x,-1);x.resize(sz); return x; } vector<int>sqr(vector<int>x){ int lim=1,sz=x.size()*2-1; while(lim<=sz)lim<<=1;R.resize(lim); for(rt i=0;i<lim;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|(i&1)*(lim>>1); NTT(lim,x,1);for(rt i=0;i<lim;i++)x[i]=1ll*x[i]*x[i]%p; NTT(lim,x,-1);x.resize(sz); return x; } vector<int>Inv(vector<int>A,int n=-1){ if(n==-1)n=A.size(); if(n==1)return vector<int>(1,ksm(A[0])); vector<int>b=Inv(A,(n+1)/2); int lim=1;while(lim<=n+n)lim<<=1;R.resize(lim); for(rt i=0;i<lim;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|(i&1)*(lim>>1); A.resize(n);NTT(lim,A,1);NTT(lim,b,1); for(rt i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*b[i]*(2ll-1ll*A[i]*b[i]%p)%p; NTT(lim,A,-1);A.resize(n); return A; } vector<int>Div(vector<int>A,vector<int>B){ int n=A.size(),m=B.size(); reverse(A.begin(),A.end()); reverse(B.begin(),B.end()); A.resize(n-m+1),B.resize(n-m+1); int lim=1;while(lim<=2*(n-m+1))lim<<=1;R.resize(lim); for(rt i=0;i<lim;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|(i&1)*(lim>>1); vector<int>ans=Mul(A,Inv(B));ans.resize(n-m+1); reverse(ans.begin(),ans.end()); return ans; } vector<int>add(vector<int>A,vector<int>B){ int len=max(A.size(),B.size());A.resize(len+1); for(rt i=0;i<=len;i++)(A[i]+=B[i])%=p; return A; } vector<int>sub(vector<int>A,vector<int>B){ int len=max(A.size(),B.size());A.resize(len+1); for(rt i=0;i<=len;i++)(A[i]-=B[i])%=p; return A; } vector<int>Mod(vector<int>x,vector<int>y){ if(x.size()<=y.size())return x; vector<int>ans=Div(x,y); ans=sub(x,Mul(y,ans)); while(!ans[ans.size()-1])ans.pop_back(); if(ans.size()>y.size())ans.resize(y.size()); return ans; } } using namespace poly; int a[100010]; vector<int>fmo; vector<int>ksm(vector<int>x,int y){ if(y==1)return x; vector<int>ans=Mod(sqr(ksm(x,y>>1)),fmo); if(y&1){ ans.push_back(0); for(rt i=ans.size()-2;i>=0;i--)ans[i+1]=ans[i],ans[i]=0; } return ans; } using namespace poly; int k,m,n,x,y,z,cnt,ans,K,P; int f[1010][1010],mi[1010]; //f[i][j]长度为i合法高度最低至少为j的合法概率 void calc(int n,int K,int fla){ memset(f,0,sizeof(f)); for(rt i=0;i<=K+10;i++)f[0][i]=1; for(rt i=1;i<=K+2;i++) for(rt j=K/i;j>=0;j--){ f[i][j]=1ll*f[i][j+1]*mi[i]%p; for(rt k=1;k<=i;k++)(f[i][j]+=1ll*f[k-1][j+1]*mi[k-1]%p*(1+p-P)%p*f[i-k][j]%p)%=p; } fmo.resize(K+2); for(rt j=1;j<=K+1;j++)fmo[K+1-j]=-1ll*mi[j-1]*f[j-1][1]%p*(p+1-P)%p; fmo[K+1]=1;int ret=0; if(n<=K+1)ret=f[n][0];else { vector<int>x;x.push_back(0);x.push_back(1); x=ksm(x,n); for(rt i=0;i<=K+1;i++)(ret+=1ll*f[i][0]*x[i]%p)%=p; } (ans+=ret*fla)%=p; } int main(){ // file("pool"); n=read();K=read();x=read();y=read();P=1ll*x*ksm(y)%p; mi[0]=1;for(rt i=1;i<=K+2;i++)mi[i]=1ll*mi[i-1]*P%p; calc(n,K,1);calc(n,K-1,-1);cout<<(ans+p)%p; return 0; }
