【学习笔记】【算法】【施工ing】Splay

好吧，Splay 还是要学的。

定义

Splay 是一种平衡 BST（二叉搜索树），通过伸展操作不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树既能满足 BST 的性质，又可以保证树不会退化为链。

而 Splay 的核心，就是在如何实现把点搬到根的这一操作。

Splay 的复杂度是 $O(\log n)$ ，证明不重要所以。

基本操作

pushup(x) 不用解释吧，就是更新 $size$ 。
get(x) 判断 $x$ 是其父亲的哪个儿子。

clear(x) 销毁 $x$ 。

void pushup(int x) { siz[x] = siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]] + cnt[x]; }

bool get(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }

void clear(int x) { ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = siz[x] = cnt[x] = 0; }

rotate 操作

为了使 Splay 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。

旋转需要保证：

整棵 Splay 的中序遍历不变，即不能破坏二叉查找树的性质。
受影响的节点维护的信息依然正确有效。
root 必须指向旋转后的根节点。

旋转分两种，左旋与右旋，也叫 zig 和 zag。

具体分析，以 zig 为例，设需要旋转的节点为 $x$ ，其父亲为 $y$ ：

将 $y$ 的左儿子改为 $x$ 的右儿子，且若 $x$ 有右儿子，将其的父亲改为 $y$ 。
将 $x$ 的右儿子改为 $y$ ，也把 $y$ 的父亲改为 $x$ 。
若原来的 $y$ 还有父亲 $z$ ，那把 $z$ 的儿子替换为 $x$ 。

void rotate(int x) {
  int y = fa[x], z = fa[y], chk = get(x);
  ch[y][chk] = ch[x][chk ^ 1];
  if (ch[x][chk ^ 1]) fa[ch[x][chk ^ 1]] = y;
  ch[x][chk ^ 1] = y;
  fa[y] = x;
  fa[x] = z;
  if (z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
  pushup(y);
  pushup(x);
}