【学习笔记】【算法】【施工ing】LCT

定义

动态树是一类要求维护森林连通性的问题。例如，在传统树链剖分的题目上加上删边与添边的操作，这使得树是动态的。

LCT 是解决动态树问题的算法的一种，其所做的是类似于重链剖分的“实链剖分”，树链剖分的儿子是始终固定的，而 LCT 则是会虚实变换，没有固定的实儿子，也没有划分标准，因此要使用比线段树之类更灵活的 Splay 来维护。因此，LCT = 树链剖分思想 + Splay。

因此，LCT 可以完成一切树链剖分的题目，属于是树剖上位了（

引入

引入 LCT 的一些概念。

• Preferred Child：实儿子，实儿子和父亲同属一个 Splay，且一个节点至多只能有一个实儿子。
• Preferred Edge：实边，链接实儿子和父亲的边。
• Preferred Path：实链，由实边和实边连接的节点构成的一条链。

同时，我们还需要构造一些辅助树。

• 由一条实链上的所有节点所构成的Splay称作这条链的辅助树。
• 每个点的键值为这个点的深度，即这棵Splay的中序遍历是这条链从链顶到链底的所有节点构成的序列。
• 在辅助树上的根节点的父亲就是链顶的父亲节点，但根节点不一定是链顶。

辅助树的每一条实链都用一棵 Splay 来维护。如下图：

基本操作

Access

作用为让点 $x$ 到根节点的路径上的所有边变为实边，形成一条实链。主要作用是让这一条路径上的所有点形成一个 Splay，以便于操作或者查询。

先去补 Splay，咕了