斯特林数入门
众所周知，斯特林数有2种（不是斯大林数，英文名字叫string）
这两种数没有什么关系，只是因为同一个人发现的所以叫同一个名字。
1.定义：
1.1第一类斯特林数:
将n个数划分成m个数的圆排列的方案数。
$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}$
意义：在新加入第n个元素的时候，有两种方案：新开一个圆排列，或者插入到之前的圆排列的任意位置之后。
1.2第二类斯特林数:
将n个数划分为m个集合的方案数。
$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}$
意义：和第一类斯特林数相似。在新加入第n个元素的时候，有两种方案：新开一个集合，或者加入到之前任意一个集合中。
1.3斯特林数的求法：
显然的，对于这两种斯特林数我们可以在$O(n^2)$的复杂度下求出。
另外，对于第二类斯特林数我们可以考虑一种容斥求法。
$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}(-1)^iC_m^i(m-i)^n$
意义比较显然，我们规定m个集合中必定有i个集合是空的，其余的集合是不是空的无所谓。这样的方案数显然是$C_m^i(m-i)^n$
虽然这样比较好求，但其余的集合是不是空的无所谓这一点会让我们算重，导致答案偏大，因此我们容斥一下。
最后，由于涉及到了组合数所以这样得出的答案是有顺序的。所以除以顺序就好了。
2.性质：
2.1斯特林数普通幂转下降幂：
先来看看公式：
$i^k=\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\binom{i}{j}j!$
然后分析意义：
$i^k$的组合意义就是k个不同的球放入i个不同的盒子的方案数。
我们考虑如何求出这个方案数。
首先枚举有j个盒子中被放入了小球。
然后求出从i个盒子中选取j个放小球的方案数就是$C_i^j$
然后求出k个不同小球放入j个相同盒子的方案数就是$\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}$
由于我们是放入不同的盒子，所以我们需要关注顺序，因此答案乘$j!$
2.2斯特林数反演
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}g(k)\Leftrightarrow g(n)= \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}f(k)$
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}g(k)\Leftrightarrow g(n)= \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}f(k)$
