ICPC WF 2018 C Conquer the World 征服世界

 

 

 

 

费用流比较显然，但复杂度并不是我们想要的那样。这时候考虑模拟费用流是个不错的选择。

我们把缺军队的地方看作老鼠，军队为洞，那么我们可以花费一定代价移动老鼠和洞，使得所有老鼠均进洞，我们需要最小化总代价。

为了方便，我们将每个老鼠的值设为$-inf$。表示将该老鼠和某一个洞匹配后额外的代价。由于我们会最小化总代价，因此这样将保证所有老鼠均进洞。

这样算到最后，我们只需要把答案加上$老鼠的个数\times inf$就好了。

 

我们看这副图。假如我们知道a是老鼠b是洞，那么贡献显然是$dep[a]+dep[b]-2*dep[lca]$。

 

但是这并不代表答案就是它了。因为可能以后会反悔。

这时候一个性质会被我们需要：一个点最多反悔1次，也就是说要么就是老鼠反悔要么就是洞反悔。

看图就很容易明白：不交叉永远比交叉好。

 

 我们考虑假如洞b变成了洞d，那么：

 

 

答案变成了什么呢？我们考虑原来的答案是：$dep[a]+dep[b]-2dep[lca]$，而现在的变成了$dep[a]+dep[d]-2dep[g]$。

这其中改变了什么呢？我们可以这么看：如果将a的权值改成$-dep[b]+2dep[lca]$，再次选择a(相当于之后反悔a了)就相当于将原来的答案$-dep[b]+2dep[lca]$变成了$dep[a]$，然后和洞d合并变成$dep[a]+dep[d]-2dep[g]$。

对于洞也和老鼠一样进行类似的反悔操作。这样就可以完成模拟费用流啦。（当dep[a]+dep[b]-2dep[lca]<0的时候允许进行反悔）

#include <bits/stdc++.h>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#define int long long 
#define inc(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n,head[300010],cnt,m;
class littlestar{
    public:
    int to,nxt,w;
    void add(int u,int v,int ww){
        to=v; nxt=head[u];
        head[u]=cnt; w=ww;
    }
}star[600010];
long long ans,dep[600010],inf=1e12; 
int army[300010],goal[300010];
__gnu_pbds::priority_queue<long long,greater<long long> >q1[300010],q2[300010];
void dfs(int u,int fa){
    while(army[u]--) q1[u].push(dep[u]);
    while(goal[u]--) q2[u].push(dep[u]-inf);
    for(int i=head[u];i;i=star[i].nxt){
        int v=star[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dep[v]=dep[u]+star[i].w;
        dfs(v,u); 
        q1[u].join(q1[v]);
        q2[u].join(q2[v]);
    }
    while(q2[u].size()&&q1[u].size()&&q2[u].top()+q1[u].top()-2*dep[u]<0){
        long long tmp1=q2[u].top(),tmp2=q1[u].top(),summ=tmp1+tmp2-2*dep[u];
        ans+=summ; 
        q2[u].pop(), q1[u].pop();
        q2[u].push(tmp1-summ);
        q1[u].push(tmp2-summ);
    }
}
signed main(){
    cin>>n;
    inc(i,1,n-1){
        int x,y,z;
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
        star[++cnt].add(x,y,z);
        star[++cnt].add(y,x,z);
    }
    inc(i,1,n){
        scanf("%lld%lld",&army[i],&goal[i]);
        int tmp=min(army[i],goal[i]);
        army[i]-=tmp; goal[i]-=tmp;
        m+=goal[i];
    }
    dfs(1,0); cout<<ans+inf*m;
}