拉格朗日插值以及它的变形

（本文中的数学公式或许需要耐心等待才能加载出来）

首先，我们要知道，谁是拉格朗日：

但其实这不重要，重要的是它的插值法；

对于一个点值多项式，我们可以n^3地把它高斯消元得到一组系数解；

但这太慢了；

所以我们需要用到拉格朗日插值；

先看一个公式

 $f(k)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j\neq i}^{n}\frac{(k-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}$

发现一个特点没有？这是一个多项式！(废话，这用你说？)

然后还有一个特点：

如果我们把第xi项带入，那么只要第i项存在(不为0)，其他项都是0(因为其他项的分子一定会存在$x_{j}-x_{j}$,导致分子是0)，且 $\prod_{j\neq i}^{n}\frac{(k-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}$项一定是1.

那么这样我们就得到了这个多项式（n+1个点确定唯一一个n次多项式）；

 

由公式可见：计算的复杂度是n^2的

那么还有没有改进呢？

 

答案肯定是有！

1.在x取值连续时的做法

  我们假设x=1,2,3,...,n；

  那么将这些数代入公式，得到化简版：

　$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j\neq i}^{n}\frac{(k-j)}{(i-j)}$

  发现什么了没有？ 分子可以通过预处理前缀积$\prod_{j=1}^{n}(k-j) $得到；

那么分母呢？可以通过预处理阶乘得到(注意符号问题)；

这样得到了O(n)的算法；公式如下：

$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\frac{pre_{i-1}\times suf_{i+1}}{(fac[i]\times fac[n-i])}$