LOJ167 康托展开 题解
康托展开：
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的名次，因此是可逆的。
X = A[0] * (n-1)! + A[1] * (n-2)! + … + A[n-1] * 0!
A[i] 指的是位于位置i后面的数小于A[i]值的个数,后面乘的就是后面还有多少个数的阶乘
这个算出来的数康拖展开值，是在所有排列次序 - 1的值，因此X+1即为在全排列中的次序
long long cantor() { long long ans=0; inc(1,n,1){ long long cnt=0; long long num=1,sum=1; for(int j=i+1;j<=n;j++){ if(a[j]<a[i]) ++cnt; sum=sum*num%p; ++num; } ans=(ans+cnt*sum%p)%p; } return ans%p; }
问：虽然知道了康托展开的方法，但怎样知道排名求排列呢？
答:那就使用逆康托展开！；
逆康托展开：
前面已经说到康拖展开是从序列到自然数的映射且是可逆的，那么逆康拖展开便是从自然数到序列的映射。
举例子：
在（1，2，3，4，5) 给出61可以算出起排列组合为34152
具体过程如下：
用 61 / 4! = 2余13，说明 ,说明比首位小的数有2个，所以首位为3。
用 13 / 3! = 2余1，说明 ，说明在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。
用 1 / 2! = 0余1，说明 ，说明在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。
用 1 / 1! = 1余0，说明 ，说明在第二位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。
static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880}; // 阶乘预处理 void decantor(int x, int n) { vector<int> v; // 存放当前可选数 vector<int> a; // 所求排列组合 for(int i=1;i<=n;i++) v.push_back(i); for(int i=m;i>=1;i--) { int r = x % FAC[i-1]; int t = x / FAC[i-1]; x = r; sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序 a.push_back(v[t]); // 剩余数里第t+1个数为当前位 v.erase(v.begin()+t); // 移除选做当前位的数 } }
但是......
你会发现，这样的时间复杂度是n^2的，我们无法接受这么暴力的算法；即使比枚举快乐很多；
那么，我们总不能整个ex康托展开，所以开始考虑优化；
从阶乘上入手？还是不够快。那么剩余优化的仅仅剩一个地方：统计小于a[i]个数.
这时我们会想到我们可爱的朋友：树状数组。
nlogn的复杂度，开心愉悦的AC掉了它；
#include <bits/stdc++.h>
#define p 998244353
#define inc(a,b,c) for(register int i=a;i<=b;i+=c)
using namespace std;
int n;
int a[1000010],c[1000010];
long long pre[1000010];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
int query(int x)
{
int res=0;
while(x>0){
res+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
void add(int x)
{
while(x<=n){
c[x]+=1;
x+=lowbit(x);
}
}
long long cantor()
{
long long ans=0;
for(register int i=n;i>=1;i--){
long long ask=query(a[i]);
add(a[i]);
long long tmp=pre[n-i];
ans=(ans+tmp*ask%p)%p;
}
return ans%p;
}
int main()
{
cin>>n;
pre[0]=1;
inc(1,n,1){
pre[i]=pre[i-1]*i%p;
}
inc(1,n,1){
scanf("%d",&a[i]);
}
cout<<cantor()+1;
}
附：公式的证明
某一全排列序列的编号即等于排在它前面的全排列的个数，而由编号定义可知，其前面的全排列组成数都小于该全排列组成的数。
还是用例子来说明吧，更易于理解，考察3214，我们要求出比它小的全排列的个数，可以这样计算：
1. 千位取1或2，后三位由剩下的3个元素全排列，共2*3!种；
2. 千位取3，百位取小于2的元素，只能为1，后两位由剩下的2个元素全排列，共1*2！种；
3. 千位取3，百位取2，十位取小于1的元素，不存在；
4. 最后一项一定为0；
