三校联训 小澳的葫芦（calabash） 题解

题面：
小澳的葫芦
【 题目描述】
小澳最喜欢的歌曲就是《葫芦娃》。
一日表演唱歌，他尽了洪荒之力，唱响心中圣歌。
随之，小澳进入了葫芦世界。
葫芦世界有 n 个葫芦，标号为 1~ n。 n 个葫芦由 m 条藤连接， 每条藤连接了
两个葫芦， 这些藤构成了一张有向无环图。小澳爬过每条藤都会消耗一定的能量。
小澳站在 1 号葫芦上（你可以认为葫芦非常大，可以承受小澳的体重），他
想沿着藤爬到 n 号葫芦上， 其中每个葫芦只经过一次。
小澳找到一条路径，使得消耗的能量与经过的葫芦数的比值最小。
【 输入格式】
输入文件名为 calabash.in。
输入文件第一行两个正整数 n,m， 分别表示葫芦的个数和藤数。
接下来 m 行，每行三个正整数 u,v,w，描述一条藤，表示这条藤由 u 连向 v，
小澳爬过这条藤需要消耗 w 点能量。
【 输出格式】
输出文件名为 calabash.out。
一行一个实数， 表示答案（ 误差不超过 10^-3）。
【 输入输出样例】
calabash.in calabash.out
4 6
1 2 1
2 4 6
1 3 2
3 4 4
2 3 3
1 4 8
2.000【输入输出样例说明】
有 4 种爬法：
1->4，消耗能量 8，经过 2 个葫芦， 比值为 8/2=4。
1->2->4， 消耗能量 1+6=7， 经过 3 个葫芦， 比值为 7/3≈2.33。
1->3->4， 消耗能量 2+4=6， 经过 3 个葫芦， 比值为 6/3=2。
1->2->3->4， 消耗能量 1+3+4=8， 经过 4 个葫芦， 比值为 8/4=2。
所以选第三种或第四种方案， 答案为 2。
【数据规模与约定】
测试点编号 n m 特殊说明
1 2 1
2 100 99 除 1 外，所有葫芦的入度均为 1
3 100 105 所有从 1到 n的路径经过的葫芦数相等
4 100 1000
5 100 1000
6 199 198 除 1 外，所有葫芦的入度均为 1
7 200 231 所有从 1到 n的路径经过的葫芦数相等
8 200 2000
9 200 2000
10 200 2000
对于所有数据，小澳爬过每条藤消耗的能量不会超过 10^3， 且一定存在一条从 1
到 n 的路径。

【algorithm1】

         第一个测试点只有一条边，输出w/2就可以啦。

       可以通过第1个测试点。

【algorithm2】

       注意到“除1外，所有葫芦的入度均为1”，也就是说，从1到n的路径只有一条，输出这一条路径的长度与这条路径上的点数的比值就可以了。

       可以通过第1、2、6个测试点。

【algorithm3】

       对于这样一类特殊数据，“所有从1到n的路径经过的葫芦数相等”，也就是说1~n的最短路就是最优路径，最短路的长度与路径上的点数的比值就是答案。

       可以通过第1、2、3、6、7个测试点。

【algorithm4】

       另建一个起点0，连接一条0到1长度为0的边，就此将问题转化为长度和边数最小比值。这个问题的求解需要分数规划。

       假设答案为ans，对于任意一条由k条边组成的路径，有：

       (w1+w2+w3+…+wk)/k>=ans；

       转化一下：

       (w1+w2+w3+…+wk) >=ans*k；

       即(w1-ans)+(w2-ans)+(w3-ans)+…+(wk-ans)>=0。

       于是就得到了这样一个算法：

       二分答案x，每次将每一条边的权值减去x求最短路，判断1~n的最短路是否大于0：若大于0，则说明答案ans>x；否则说明ans<x。

       这样可以通过所有测试点。