C语言中float,double等类型,在内存中的结构

从存储结构和算法上来讲，double和float是一样的，不一样的地方仅仅是float是32位的，double是64位的，所以double能存储更  
   
  高的精度。  
   
          任何数据在内存中都是以二进制（0或1）顺序存储的，每一个1或0被称为1位，而在x86CPU上一个字节是8位。比如一个16位（2  
   
  字节）的short   int型变量的值是1000，那么它的二进制表达就是：00000011   11101000。由于Intel   CPU的架构原因，它是按字节倒  
   
  序存储的，那么就因该是这样：11101000   00000011，这就是定点数1000在内存中的结构。  
   
          目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和  
   
  尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：  
   
  ````````符号位   阶码   尾数   长度  
  float         1           8         23       32  
  double       1         11         52       64  
  临时数       1         15         64       80  
   
  由于通常C编译器默认浮点数是double型的，下面以double为例：  
  共计64位，折合8字节。由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：  
          最高位63位是符号位，1表示该数为负，0正；  
          62-52位，一共11位是指数位；  
          51-0位，一共52位是尾数位。  
   
   
          按照IEEE浮点数表示法，下面将把double型浮点数38414.4转换为十六进制代码。  
          把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:  
  0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……  
          实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了（隐藏位技术：最高位的1  
   
  不写入内存）。  
          如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)  
  科学记数法为：1.001……乘以2的15次方。指数为15！  
          于是来看阶码，一共11位，可以表示范围是-1024   ~   1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023，在这里，  
   
  15+1023=1038。二进制表示为：100   00001110  
          符号位：正——   0   ！  
          合在一起（尾数二进制最高位的1不要）：  
  01000000   11100010   11000001   11001101   01010101   01010101   01010101   01010101  
          按字节倒序存储的十六进制数就是：  
  55   55   55   55   CD   C1   E2   40

float存储格式及FPU  

浮点数用科学计数法的形式存储, 即分成符号位, 底数位和指数位
如 10.0 的二进制表示为 1010.0, 科学表示法表示为: 1.01exp110, 即 (1+0*1/2+1*1/4)*2^3. 小数点每左移一位指数要加1, 每右移一位指数要减1.

其存储格式符合IEEE标准, 即

数据格式        符号位     底数位     指数位

单精度 float     1        23          8

双精度 double    1        52         11

扩展精度         1        64         15

存储顺序为: 符号位 指数位 底数位, 由于底数的个位必为1, 因此个位和小数点就不存储. 指数位的高位也是符号位, 不过为1表示正, 0表示负.

float 因有 8 bits, 所以能表示的有 2 的 256 次方,
但因為指數應可正可負,
所以 IEEE 規定, 此處算出的次方須減去 127 才是真的指數,
所以 float 的指數可從-126 到 128.
double 型態有 11 bits, 算出的值須減去 1023,
所以double 的指數可從 -1022 到 1024.
底数   (mantissa):      
〈特例〉0   不能以 2 的次方表示
float : 00 00 00 00
double: 00 00 00 00 00 00 00 00

由此可推断浮点数的精度. 单精度的底数只存储23位, 即最小一位为 1/2^23, 故精度为 1/2^23 = 1.19209e-7, 可精确到小数点后6位; 双精度的底数存储52位, 最小位为 1/2^52, 精度为 1/2^52 = 2.22045e-16, 能精确到小数点后15位.

双精度的最大值约为 2*2^(2^10-1), 约为1.79e308

 

 

关于FPU：
(gdb) list 1,80
1        #include <stdio.h>
2        int main(int argc,char **argv)
3        {
4        float val = 1000;
5        int   ival = val;
6        printf("%f/n",val);
7        printf("%d/n",ival);
8        }
(gdb) display/i $pc
(gdb) break main
Breakpoint 1 at 0x8048365: file float.c, line 4.
(gdb) r
Starting program: /home/lsm1982/float

Breakpoint 1, main () at float.c:4
4        float val = 1000;
1: x/i $pc   0x8048365 <main+17>:         mov     $0x447a0000,%eax
(gdb) si
0x0804836a       4        float val = 1000;
1: x/i $pc   0x804836a <main+22>:         mov     %eax,0xfffffff4(%ebp)
(gdb) 
5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x804836d <main+25>:         flds    0xfffffff4(%ebp)
(gdb) 
0x08048370       5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x8048370 <main+28>:         fnstcw 0xffffffea(%ebp)
(gdb) 
0x08048373       5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x8048373 <main+31>:         movzwl 0xffffffea(%ebp),%eax
(gdb) 
0x08048377       5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x8048377 <main+35>:         mov     $0xc,%ah
(gdb) 
0x08048379       5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x8048379 <main+37>:         mov     %ax,0xffffffe8(%ebp)
(gdb) 
0x0804837d       5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x804837d <main+41>:         fldcw   0xffffffe8(%ebp)
(gdb) 
0x08048380       5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x8048380 <main+44>:         fistpl 0xfffffff8(%ebp)
(gdb) 
0x08048383       5        int   ival = val;
1: x/i $pc   0x8048383 <main+47>:         fldcw   0xffffffea(%ebp)
(gdb) 
6        printf("%f/n",val);
1: x/i $pc   0x8048386 <main+50>:         flds    0xfffffff4(%ebp)
看来强制类型转换并不只是将存储的
的二进制代码进行不同类型的解释，还有其他可能的情况。
FPU也有其在处理器中的特殊性 
5的二进制是101，即1.01（二进制）×2^2 [所有相关帖子]

Float 格式数据长32 bits，最高位为符号位：0为正，1为负；紧接着的8位为阶码：为了便于比较大小，其固定偏移7FH长，即0实际表示-7FH，7FH实际表示 0，0FFH实际表示80H；余下的低23位为尾数（有效数字），为了使有效数字达到最大精度，这23个有效数字隐含着固定位1[注2]，比如尾数 10000000000000000000001其实就是1.10000000000000000000001，1被省略，而小数点固定在首位。

符号位 0
阶码 0x7F + 2 = 0x81，即二进制的 10000001
尾数 01000000000000000000000 （应该是1.01000000000000000000000，其中1.是缺省具有的，上面说过了）
合起来就是 0 10000001 01000000000000000000000，即16进制的 40A00000

 0x7F + 2 = 0x81 为什么加2？ <无内容> - [bl] 2009-5-7 10:22:50 ( 0 字节, 点击:2 )

 2的二次方嘛，+2 就是指“二次方” <无内容> - [周星星] 2009-5-7 10:25:36 ( 0 字节, 点击:2 )

 2的二次方 怎么来的？ <无内容> - [bl] 2009-5-7 10:26:35 ( 0 字节, 点击:1 )

 to bl：《科学计数法》503表示为5.03E+02，0.7表示为7.0E-01，7表示为7.0E+00 <无内容> - [周星星] 2009-5-7 10:27:41 ( 0 字节, 点击:3 )

 上学的时候学过，现在全都忘光：） <无内容> - [jbisjb] 2009-5-7 10:31:17 ( 0 字节, 点击:0 )

 同样，二进制的101用科学计数法表示就是1.01E+02 <无内容> - [周星星] 2009-5-7 10:28:16 ( 0 字节, 点击:2 )

 同时，因为二进制只有0和1，而科学计数法第一位都是非0，即二进制的科学计数法第一位都是1.，既然都是1.，那么自然可以省略掉 <无内容> - [周星星] 2009-5-7 10:29:34 ( 0 字节, 点击:2 )

 因为省略了1.，所以float/double其实是无法表示0.0的，这时候…… <无内容> - [周星星] 2009-5-7 10:30:33 ( 0 字节, 点击:4 )

 这时候就用 1.0E负最大 来表示 +0.0，用 -1.0E负最大 来表示 -0.0 <无内容> - [周星星] 2009-5-7 10:31:50 ( 0 字节, 点击:2 )

 恩恩,听起来好像有什么复杂的隐情哦 

 <无内容> - [bl] 2009-5-7 10:32:28 ( 0 字节, 点击:0 ) 

语言中，对于浮点类型的数据采用单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit,double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。

    无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

1. 符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负
2. 指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储（后面将详细说明）
3. 尾数部分（Mantissa）：尾数部分

 其中float的存储方式如下图所示：

而双精度的存储方式为:

 

    R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*,而120.5可以表示为:1.205*, 这些小学的知识就不用多说了吧。而我们傻蛋计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数 法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01,我靠，不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5用二进制表示为：1110110.1用 二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0001*,1110110.1可以表示为1.1101101*,任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*, 尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？可以将小数点前面的1省略，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了 24bit，道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数 点，24bit就能使float能精确到小数点后6位，而对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128了， 所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127。

例如，我们要想偷窥浮点类型的值4.25在计算机硬盘中存储的庐山真面目，请跟我来：首先把4.25转换成二进制的表达方式，即100.01，在详细点，变成1.0001x2²，好了，对号入座把。

Sign=0;

Exponent(bias)=2+127=129 （偏移量为127，就是直接加上个127了）；

Mantissa=1.0001-1.0=0001（规格化后，小数点前总是整数1，全世界人都知道前面是1不是0，所以省略不写了，即尾数部分不包括整数部分；当别人问你，为什么23 bit的尾数部分可以表示24位的精度，知道怎么回答了吧。

 

下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。

     首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*

按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130 ,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:

 

而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

 

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存数据：0100001011101101000000000000，首先我们现将该数据分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在内存中的存储就为下图所示：

 

根据我们的计算方式，可以计算出，这样一组数据表示为:1.1101101*=120.5

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将120.5的最后存储方式图给出，大家可以仔细想想为何是这样子的

下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果

            float f = 2.2f;
double d = (double)f;
Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
f = 2.25f;
d = (double)f;
Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837，而单精度的 2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上面关于两 种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式，很简单 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的双精度表示为:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数 的方法为将小数*2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第二位为 0,0.8*2=1.6,第三位为1，0.6×2 = 1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011... ,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为:

但是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数 据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如 2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。

 

剖析float型的内存存储和精度丢失问题

问题提出：12.0f-11.9f=0.10000038，"减不尽"为什么？

 

现在我们就详细剖析一下浮点型运算为什么会造成精度丢失？

 

1、小数的二进制表示问题

       首先我们要搞清楚下面两个问题：

     (1)  十进制整数如何转化为二进制数

           算法很简单。举个例子，11表示成二进制数：

                     11/2=5   余   1

                       5/2=2   余   1

                       2/2=1   余   0

                       1/2=0   余   1

                          0结束         11二进制表示为(从下往上):1011

          这里提一点：只要遇到除以后的结果为0了就结束了，大家想一想，所有的整数除以2是不是一定能够最终得到0。换句话说，所有的整数转变为二进制数的算法会不会无限循环下去呢？绝对不会，整数永远可以用二进制精确表示 ，但小数就不一定了。

      (2) 十进制小数如何转化为二进制数

           算法是乘以2直到没有了小数为止。举个例子，0.9表示成二进制数

                     0.9*2=1.8   取整数部分  1

                     0.8(1.8的小数部分)*2=1.6    取整数部分  1

                     0.6*2=1.2   取整数部分  1

                     0.2*2=0.4   取整数部分  0

                     0.4*2=0.8   取整数部分  0

                     0.8*2=1.6   取整数部分  1

                     0.6*2=1.2   取整数部分  0

                              .........      0.9二进制表示为(从上往下): 1100100100100......

           注意：上面的计算过程循环了，也就是说*2永远不可能消灭小数部分，这样算法将无限下去。很显然，小数的二进制表示有时是不可能精确的 。其实道理很简单，十进制系统中能不能准确表示出1/3呢？同样二进制系统也无法准确表示1/10。这也就解释了为什么浮点型减法出现了"减不尽"的精度丢失问题。

 

2、 float型在内存中的存储

     众所周知、 Java 的float型在内存中占4个字节。float的32个二进制位结构如下

           

         float内存存储结构  

                 4bytes          31                  30            29----23        22----0         

                        表示       实数符号位      指数符号位        指数位          有效数位

        其中符号位1表示正，0表示负。有效位数位24位，其中一位是实数符号位。

 

         将一个float型转化为内存存储格式的步骤为：

        （1）先将这个实数的绝对值化为二进制格式，注意实数的整数部分和小数部分的二进制方法在上面已经探讨过了。
（2）将这个二进制格式实数的小数点左移或右移n位，直到小数点移动到第一个有效数字的右边。
（3）从小数点右边第一位开始数出二十三位数字放入第22到第0位。
（4）如果实数是正的，则在第31位放入“0”，否则放入“1”。
（5）如果n 是左移得到的，说明指数是正的，第30位放入“1”。如果n是右移得到的或n=0，则第30位放入“0”。
（6）如果n是左移得到的，则将n减去1后化为二进制，并在左边加“0”补足七位，放入第29到第23位。如果n是右移得到的或n=0，则将n化为二进制后在左边加“0”补足七位，再各位求反，再放入第29到第23位。

 

          举例说明： 11.9的内存存储格式

       (1) 将11.9化为二进制后大约是" 1011. 1110011001100110011001100..."。

       (2) 将小数点左移三位到第一个有效位右侧： "1. 011 11100110011001100110 "。 保证有效位数24位，右侧多余的截取（误差在这里产生了 ）。

       (3) 这已经有了二十四位有效数字，将最左边一位“1”去掉，得到“ 011 11100110011001100110 ”共23bit。将它放入float存储结构的第22到第0位。

       (4) 因为11.9是正数，因此在第31位实数符号位放入“0”。

       (5) 由于我们把小数点左移，因此在第30位指数符号位放入“1”。

       (6) 因为我们是把小数点左移3位，因此将3减去1得2，化为二进制，并补足7位得到0000010，放入第29到第23位。

 

           最后表示11.9为：  0 1 0000010 011 11100110011001100110

 

           再举一个例子：0.2356的内存存储格式
（1）将0.2356化为二进制后大约是0.00111100010100000100100000。
（2）将小数点右移三位得到1.11100010100000100100000。
（3）从小数点右边数出二十三位有效数字，即11100010100000100100000放
入第22到第0位。
（4）由于0.2356是正的，所以在第31位放入“0”。
（5）由于我们把小数点右移了，所以在第30位放入“0”。
（6）因为小数点被右移了3位，所以将3化为二进制，在左边补“0”补足七
位，得到0000011，各位取反，得到1111100，放入第29到第23位。

           最后表示0.2356为：0 0 1111100 11100010100000100100000

 

          将一个内存存储的float二进制格式转化为十进制的步骤：
（1）将第22位到第0位的二进制数写出来，在最左边补一位“1”，得到二十四位有效数字。将小数点点在最左边那个“1”的右边。
（2）取出第29到第23位所表示的值n。当30位是“0”时将n各位求反。当30位是“1”时将n增1。
（3）将小数点左移n位（当30位是“0”时）或右移n位（当30位是“1”时），得到一个二进制表示的实数。
（4）将这个二进制实数化为十进制，并根据第31位是“0”还是“1”加上正号或负号即可。

 

3、浮点型的减法运算

 

          浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步：  
　  (1) 0操作数的检查；

                如果判断两个需要加减的浮点数有一个为0，即可得知运算结果而没有必要再进行有序的一些列操作。

　 　(2) 比较阶码（指数位）大小并完成对阶；

                两浮点数进行加减，首先要看两数的 指数位 是否相同，即小数点位置是否对齐。若两数 指数位 相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。反之，若两数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使两数的阶码相同，这个过程叫做对阶 。

               如何对 阶(假设两浮点数的指数位为 E_x 和 E_y )：

        通过尾数的移位以改变 E_x 或 E_y ，使之相等。 由 于浮点表示的数多是规格化的，尾数左移会引起最高有位的丢失，造成很大误差；而尾数右移虽引起最低有效位的丢失，但造成的误差较小，因此，对阶操作规定 使尾数右移，尾数右移后使阶码作相应增加，其数值保持不变。很显然，一个增加后的阶码与另一个相等，所增加的阶码一定是小阶。因此在对阶时，总是使小阶向大阶看齐 ，即小阶的尾数向右移位 ( 相当于小数点左移 ) ，每右移一位，其阶码加 1 ，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差 △ _E 。
　　 (3) 尾数（有效数位）进行加或减运算；

               对阶完毕后就可 有效数位 求和。 不论是加法运算还是减法运算，都按加法进行操作，其方法与定点加减运算完全一样。
(4) 结果规格化并进行舍入处理。

                略

 

        浮点数的加减法：具体见http://www.zzslxx.com/wmy/jy/Chap02/2.7.1.htm

 

4、 计算12.0f-11.9f

 

       12.0f 的内存存储格式为：    0 1 0000010 10000000000000000000000     

     11.9f 的内存存储格式为:     0 1 0000010 011 11100110011001100110

 

     可见两数的指数位完全相同，只要对有效数位进行减法即可。

     12.0f-11.9f   结果：         0 1 0000010 00000011001100110011010

      

     将结果还原为十进制为： 0.000 11001100110011010= 0.10000038