约瑟夫-从模拟到毒瘤
约瑟夫真是个好题。
约瑟夫的题有模拟,递推的标签。于是有两大类算法,三种题目。
入门练习类
复杂度$\Theta(NM)$
一般作者为了显示是个入门题会出$10^3 \sim 3 \times 10^4$的数据范围。(额,出到$10^5$仿佛还没见过)
而且一般会问整个序列。
模拟这个过程。
于是,有例子:
$5$个人报数,每报到$3$这个人就出列,下一个人从1开始报。
使用$\LaTeX$。分$4$步
$$
\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5\\
1&2&\not3&4&5\\
\not1&2&\not3&4&5\\
\not1&2&\not3&4&\not5\\
\not1&\not2&\not3&4&\not5
\end{array}
$$于是最后只有$4$号留下了。
上个代码(模拟):
#include<cstdio> int all[10000000]; int main(){ int m,n; int bs=0,out=0,num=0; // out计数出去的人数 // num记录当前的, // bs是报数计数器 scanf("%d%d",&m,&n); do{ ++num; if(num==m+1) num=1; //循环下标 if(all[num]==0) ++bs;//如果这个人没有出去,报数 else continue; //已经出去了,跳过 if(bs==n){//发现报到了 bs=0; all[num]=1;//干出去 ++out;//计数 printf("%d ",num);//输出 } }while(out!=m);//如果全出去了,结束。 return 0; }
递推类
时间复杂度$\Theta(N)$
于是$0<n,m<10^8$
并且只问最后一个人的编号。
于是递推。
如果我们要求$1$个人的序列的答案,
然后反向报数加人
可以先求出两个人的序列,在一直推到$N$个人,
每次重新编号,并且为了方便,我们把$[1,N]$平移到$[0,N-1]$。
于是本来有一个人。
后来的一个人排在了正确的位置上,
因为是反向报数,所以其实这个人就是第一个出去的人。
而且现在的两个人中的最后出去的人的编号是对的。
于是一直推。
$$f_i=(f_{i-1}+m)\mod{i}$$
为了防止编号越出$n$,还得取个模。
放个代码(好短):
#include <iostream> #include <cstdio> #define LL long long using namespace std; LL ans=0,n,m; int main(){ ans=0; scanf("%lld%lld",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+m)%i; printf("%lld\n",ans+1); }
于是还有另类的题(不过也是逆推)
第$i$次报$i$个数
不过也一样,只是把里面的改成
for(int i=n-1;i>=0;i--) ans=(ans+i)%(n-i+1);
一样是逆推。
毒瘤类:
当作者不再冷静,就会把数据出成这个鬼样子:
$N\leq 10^9,M \leq 10^6$
总之$\Theta(N)$过不去了。
那么我们就要想想为啥$M$这么小,
于是可以利用类似分块(?)的思想。
在$\Theta(N)$的基础上,把不需要取模的那部分直接乘法加速。
于是变成$\Theta(M \log N)$
就终于干过毒瘤出题人啦。
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; int m,n; int main(){ int T; for(cin>>T;T;T--){ scanf("%d%d",&n,&m); int id=0; if(n>m){ for(int i=1;i<=m;i++) id=(id+m)%i; for(int i=m+1;i<=n;i++){ id=(id+m)%i; int jumpl=(i-id)/(m-1); if(i+jumpl<=n){ id=(id+jumpl*m)%(i+jumpl); i+=jumpl; } else{ id=id+(n-i)*m; break; } } }else{ id=0; for(int i=1;i<=n;i++) id=(id+m)%i; } printf("%d\n",id+1); } }