自动控制原理总结

自动控制原理

1. 自动控制的一般概念

反馈系统的基本组成

测量元件
给定元件
比较元件
放大元件
执行元件
校正元件

自动控制系统的基本控制方式

反馈控制方式

无论什么原因使被控量偏离期望值而出现偏差时，必定会产生一个相应的控制作用去降低或消除这个偏差。

开环控制方式

特点是控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系，系统的输出量不会对系统的控制作用产生影响。

自动控制系统的分类

线性连续控制系统

线性定常离散控制系统

非线性控制系统

系统只要有一个元部件的输入-输出特性是非线性的，这类系统就称之为非线性控制系统。

对自动控制系统的基本要求

稳定性

我们先讨论为什么控制系统会不稳定。

由于一般的控制系统都含有一个储能元件或者惯性元件，这类元件的能量不可能发生突变。因此从被控量偏离期望值，到控制量做出反应，需要一定的延缓时间，这个过程称为过渡过程。

当控制量已经回到期望值而使偏差为零时，执行机构本应立刻停止，但是由于过渡过程的存在，使得控制量反而向反向变化，如此反复进行，使得被控量在期望值附近来回摆动，这个过程呈现振荡形式。

如果这个振荡是逐渐减弱的，即控制量最终会回到期望值，我们称这个系统是稳定的；如果振荡逐渐增强，我们称这个系统是不稳定的。

快速性

前面提到，虽然稳定系统最终会回到稳定状态，但是这个回到稳定状态的快慢对于一些系统来说是非常关键的。

一般从控制开始，到系统的输出量在期望值的一定误差范围内来回摆动的时间，我们称之为调节时间。这个时间一般可以用来反映系统调节的快慢。

而在调节过程，一般振荡都会有个最大振幅，最大振幅一般也对于一些系统来说也非常重要，我们用来这个最大振幅与期望值的差与期望值的比值来反映系统的这个性质，称之为超调量。

准确性

尽管前面我们提到稳定系统最终会趋于稳定，但是是在期望值的允许误差范围内，即使在很大的时间长度上，最终输出量也难以与期望值完全一致。

我们将无穷的时间尺度下，最终输出量与期望值之差成为稳态误差，稳态误差为无穷大的系统说明不稳定。

2. 控制系统的時域数学模型

传递函数

本章引入了一个最重要的概念就是传递函数，传递函数本质上是对系统从输入到输出的中间过程用一个数学模型表示出来以便于分析系统的性质。

传递函数一般用复域的模型表示，这样将输入用复域表示以后，就可以直接用输入乘上传递函数得到输出了。

传递函数的求法

根据系统特征写出系统的時域数学方程，一般都是一个微分方程；
微分方程在時域一般都不好解，但是在复数域就特别好解，我们通过拉普拉斯变换求得复域的等效方程；
将方程的一端表示为输出/输入以后，另一端就是一个关于 $s$ 的表达式，从而求得了传递函数 $G(s)$

传递函数的零点和极点

通常传递函数都可以表示为下面这个样子

G (s) = K^{*} \frac{\prod_{i = 1}^{m} (s - z_{i})}{\prod_{j = 1}^{n} (s - p_{j})}

$G(s) = K ^*\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\displaystyle \prod_{j=1}^n(s-p_j)}$

这样的一个传递函数显然具有 $m$ 个零点和 $n$ 个极点，那么这些零点和极点与传递函数乃至于与系统特征的关系是什么呢？

一个最重要的点就是传递函数的点就是传递函数的极点就是微分方程的特征根，

从微分方程的知识来理解，在時域上求解微分方程特征根有什么用呢？答案是可以根据不同的特征根确定不同的以 $e$ 为底的指数函数作为结果的一项，在自动控制原理中，这样的一项称为一个模态。

传递函数的每个极点都会形成一个新的模态 $e^{p_jt}$ ，但这并不是输出量的所有模态，输出量还会继承输入量的所有模态。

传递函数的每个零点虽然不形成新的模态，但是会对不同模态在响应中所占的比重形成影响。

结构图与信号流图

sucks, next

梅森增益公式

3. 线性系统的時域分析方法

回顾第二章，我们就学了一个传递函数的求法，一个系统的化简，啥也不够干的。所以这一章来学习一个线性系统要怎么进行分析，有哪些分析指标。这些指标将对第六章的线性系统的校正做出指导。

对于一个系统，在接受输入后，其输出主要可以分为两个过程：动态过程和稳态过程。

动态过程表示系统从初始状态到最终状态的响应过程，所谓最终状态，就是系统在时间趋于无穷时的输出状态，而稳态过程就是这个状态。所以稳态过程与其说是过程，不如说是状态。

系统性能指标——時域

先来观察可以反应系统性能的指标

上升时间：从终值10%上升到终值90%的时间，可以反应系统的响应快慢
峰值时间：响应到达第一个峰值的时间
调节时间：响应进入终值5%范围内的时间
超调量：最大偏离量与终值之差与终值的比值

一阶系统的時域分析方法

典型方程为

T \dot{c} (t) + c (t) = r (t)

$T\dot{c}(t) + c(t) = r(t)$

懒得分析了，这个太简单，到了二阶系统进行重点分析，可以作为一阶的参考

二阶系统的時域分析方法

典型微分方程为

\ddot{c} (t) + 2 ζ ω_{n} \dot{c} (t) + ω_{n}^{2} c (t) = ω_{n}^{2} r (t)

$\ddot{c}(t)+2\zeta\omega_n\dot c(t) + \omega_n^2c(t) = \omega_n^2r(t)$

其传递函数为

R (s) = \frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}

$R(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$

不管输入是什么，我们先看这个传递函数的两个极点

s_{1}, s_{2} = - ζ ω_{n} \pm ω_{n} \sqrt{ζ^{2} - 1}

$s_1,s_2 = -\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$

然后就可以发现 $\zeta <,=,>1$ 的三个状态会严重影响特征根的分布。

单位阶跃响应为

c (t) = \frac{ω_{n}^{2}}{s_{1} s_{2}} + \frac{ω_{n}^{2} e^{s_{1} t}}{s_{1} (s_{1} - s_{2})} + \frac{ω_{n}^{2} e^{s_{2} t}}{s_{2} (s_{2} - s_{1})}

$c(t) =\frac{\omega_n^2}{s_1s_2}+\frac{\omega_n^2e^{s_1t}}{s_1(s_1-s_2)} + \frac{\omega_n^2 e^{s_2t}}{s_2(s_2-s_1)}$

我们称 $\zeta$ 为阻尼比， $\omega_n$ 为自然振荡频率。

当 $\zeta = 0$ 时，系统无阻尼，此时的单位阶跃响应为

c (t) = 1 - \cos ω_{n} t

$c(t) = 1-\cos\omega_n t$

此时的振荡频率就是自然振荡频率 $\omega_n$

$\zeta$ 逐渐增大的过程中，振荡幅度逐渐减弱，上升时间逐渐增加，超调量逐渐减小。当然这些量都是对于欠阻尼情况下而言。

c (t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - ζ^{2}}} e^{- ζ ω_{n} t} \sin (ω_{d} t + β) β = \arccos ζ

$c(t) = 1-\frac1{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_dt+\beta)\\\beta = \arccos\zeta$

计算上升时间，令 $c(t)= 1$ 得

$\sin(\omega_dt_r+\beta) = 0 \\ \Downarrow\\ t_r = \frac{\pi-\arctan\zeta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$
当 $\zeta$ 越小时，上升时间越小
接下来的懒得算了

线性系统的稳定性分析

稳定状态的定义：一个系统无论受到了多大的扰动，都可以最终回到初始的状态，那么我们称这个系统是稳定的，并且是大范围稳定的系统；如果扰动限制在一定范围内，系统才能回到稳定状态，则这种系统是小范围稳定的系统。

线性系统必然在大范围和小范围都能稳定，非线性系统才会存在小范围稳定而大范围不稳定的情况。

线性系统稳定的充要条件

我们可以将一个扰动等效为一个脉冲输入，在脉冲输入的作用下，如果存在

lim_{t \to \infty} c (t) = 0

$\lim_{t\rightarrow\infty}c(t) = 0$

则说明系统是稳定的

在一番省略的分析后，得到结论：若特征根中有一个或一个以上的正实部根时，则满足系统稳定。

劳斯稳定判据

按照劳斯稳定判据，劳斯表第一列值全为正，说明系统稳定；第一列各系数符号的变化次数代表正实部根的数目。

劳斯稳定判据的特殊情况

当第一列项为零，而其他项不全为0时，可以用 $(s+a)$ 乘以原特征方程重新计算

当出现全零行时，可以利用上一行构造辅助方程 $F(s) = 0$ ，并对该方程进行求导，将求导后的系数填入其中。

稳态误差计算

系统误差传递函数

Φ_{e} (s) = \frac{E (s)}{R (s)} = \frac{1}{1 + G (s) H (s)}

$\Phi_e(s) = \frac{E(s)}{R(s)} = \frac1{1+G(s)H(s)}$

利用拉普拉斯变换的终值定理：

lim_{t \to \infty} f (t) = lim_{s \to 0} s F (s)

$\lim_{t\rightarrow\infty}f(t) = \lim_{s\rightarrow0}sF(s)$

可以得到

e_{s s} (\infty) = lim_{s \to 0} s E (s) = lim_{s \to 0} \frac{s R (s)}{1 + G (s) H (s)}

$e_{ss}(\infty) = \lim_{s\rightarrow0}sE(s) = \lim_{s\rightarrow0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}$

最值得注意的是这个公式的应用条件，由于这个公式由终值定理得来，所以也是终值定理成立的条件：

$E(s)$ 的分母为零的所有根的实部必须为负值；
$E(s)$ 在原点处不能有多于一个极点。

可以发现这个条件也是系统稳定的充要条件，因为令分母等于零就相当于是特征方程了嘛。同时也很好理解，系统首先必须是稳定的，才会存在所谓的终值，否则系统在无穷远的时间处依旧在不停摇摆，就无法求出终值，也就无法计算稳态误差。

当无法应用终值定理，需要将 $E(s)$ 通过拉普拉斯逆变换得到 $e(t)$ ，取 $e(t)$ 在无穷远处不会为零的部分即为稳态误差的时间函数。

例如

E (s) = \frac{T s}{T s + 1} \cdot \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}}

$E(s) = \frac{Ts}{Ts+1}\cdot\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$

存在两个极点的实部不为负值，所以逆变换得到

e (t) = - \frac{T ω}{T^{2} ω^{2} + 1} e^{- \frac{t}{T}} + \frac{T ω}{T^{2} ω^{2}} (\cos ω t + T ω \sin ω t)

$e(t) = -\frac{T\omega}{T^2\omega^2+1}e^{-\frac tT}+\frac{T\omega}{T^2\omega^2}(\cos\omega t+T\omega\sin\omega t)$

其左边项明显是属于瞬态分量，所以稳态误差的时间函数为

e_{s s} (t) = \frac{T ω}{T^{2} ω^{2} + 1} (\cos ω t + T ω \sin ω t)

$e_{ss}(t) = \frac{T\omega}{T^2\omega^2+1}(\cos\omega t+T\omega\sin\omega t)$

典型输入作用下的稳态误差及静态误差系数

阶跃输入

R (s) = \frac{R_{0}}{s} e_{s s} = lim_{s \to 0} \frac{R_{0}}{1 + G (s) H (s)} = \frac{R_{0}}{1 + lim_{s \to 0} G (s) H (s)} = \frac{R_{0}}{1 + K_{p}}

$R(s) = \frac{R_0}s\\ e_{ss} = \lim_{s\rightarrow0}\frac{R_0}{1+G(s)H(s)} = \frac{R_0}{1+\lim_{s\rightarrow0}G(s)H(s)} = \frac{R_0}{1+K_p}$

$K_p$ 就称为静态误差系数。

又有

G (s) H (s) = \frac{K \prod_{i = 1}^{m} (τ_{i} s + 1)}{s^{v} \prod_{j = 1}^{n - v} (T_{j} s + 1)}, n \geq m

$G(s)H(s) = \dfrac{K\displaystyle{\prod_{i=1}^m(\tau_is+1)}}{\displaystyle{s^v\prod_{j=1}^{n-v}(T_js+1)}}, \quad n\ge m$

则有

e_{s s} = {\begin{cases} \begin{aligned} \frac{R_{0}}{1 + K} & v = 0 \\ 0 & v \geq 1 \end{aligned} \end{cases}

$e_{ss} = \begin{cases}\begin{aligned}&\displaystyle\frac{R_0}{1+K}\quad &v=0\\\displaystyle &0 \quad &v\ge1\end{aligned}\end{cases}$

说明0型系统可以跟踪输入，但有误差；1型以上可以完全跟踪输入。

斜坡输入

R_{s} = \frac{R_{0}}{s^{2}} e_{s s} = \frac{R_{0}}{s (1 + K_{p})}

$R_s = \frac{R_0}{s^2}\\e_{ss} = \frac{R_0}{s(1+K_p)}$

则有

e_{s s} = {\begin{cases} \begin{aligned} \infty & v = 0 \\ \frac{R_{0}}{K} & v = 1 \\ 0 & v \geq 2 \end{aligned} \end{cases}

$e_{ss} = \begin{cases}\begin{aligned}&\infty &v=0\\&\displaystyle{\frac{R_0}K}&v=1\\&0&v\ge2 \end{aligned}\end{cases}$

加速度输入

R_{s} = \frac{R_{0}}{s^{3}} e_{s s} = \frac{R_{0}}{s^{2} (1 + K_{a})}

$R_s = \frac{R_0}{s^3}\\ e_{ss} = \frac{R_0}{s^2(1+K_a)}$

则有

e_{s s} = {\begin{cases} \begin{aligned} \infty & v \leq 1 \\ \frac{R_{0}}{K} & v = 2 \\ 0 & v \geq 3 \end{aligned} \end{cases}

$e_{ss} = \begin{cases}\begin{aligned} &\infty&v\le1\\ &\frac{R_0}K&v=2\\ &0&v\ge 3 \end{aligned} \end{cases}$

减小或消除稳态误差的措施

增大系统开环增益或扰动作用下的前向通道增益
在系统的前向通道或者主反馈通道设置串联积分环节

4. 线性系统的根轨迹法

所谓根轨迹，它表示开环系统的某一参数从零变化到无穷，闭环系统特征方程式的根在 $s$ 平面上变化的轨迹。

在讲如何绘制根轨迹之前，我们先了解一下根轨迹的用途。

稳定性

前面有提到，线性系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的实部均为负数。那么对于根轨迹图，我们只要观察其进入虚轴右侧的部分对应的开环系统的某一参数，进行调整就能使系统稳定。
稳态性能

根据要求的稳态误差，加上系统类型，可以倒推出系统要求的开环增益，从而确定闭环极点的位置的容许范围。
动态性能

当所有闭环极点位于实轴上时，系统为过阻尼系统；

当实数极点重合时，系统为临界阻尼；

当极点为复数时，系统为欠阻尼

闭环零、极点与开环零、极点之间的关系

首先明确

Φ (s) = \frac{G (s)}{1 + G (s) H (s)}

$\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

闭环零点由开环零点和反馈通路的极点组成
闭环极点与开环极点、开环零点以及根轨迹增益均有关

根轨迹方程

对于单位反馈系统而言

1 + G (s) H (s) = 0 ⇓ K^{*} \frac{\prod_{j = 1}^{m} (s - z_{j})}{\prod_{i = 1}^{n} (s - p_{i})} = - 1

$1+G(s)H(s)=0\\\Downarrow\\ K^*\frac{\displaystyle{\prod_{j=1}^m(s-z_j)}}{\displaystyle{\prod_{i=1}^n(s-p_i)}} = -1$

根轨迹绘制的基本法则

根轨迹起于开环极点，终于开环零点；
根轨迹的分支数与开环零点和开环极点中的大者相等，分支连续且对称于实轴；
根轨迹的渐近线

渐近线的角度间隔和与实轴的交点计算公式为

$\varphi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m}\\\sigma_a= \frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^np_i}-\displaystyle{\sum_{j=1}^mz_j}}{n-m}$
实轴的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹
分离点和分离角

$\sum_{j=1}^m\frac1{d-z_j} = \sum_{i=1}^n\frac1{d-p_i}$
分离角为 $\dfrac{(2k+1)\pi}l,l$ 表示相遇的根轨迹的条数

值得指出的是，如果开环系统无有限零点，应取

$\sum_{j=1}^m\frac1{d-z_j} =0$
根轨迹的起始角和终止角

$\theta_{p_i} = (2k+1)\pi +(\sum_{j=1}^m\varphi_{z_jp_i} - \sum_{j=1\\(j\ne i)}^n\theta_{p_jp_i})\\ \varphi_{z_i} = (2k+1)\pi +(\sum_{j=1\\(j\ne i)}^m\varphi_{z_j}\varphi_{z_i} -\sum_{j=1}^n\theta_{p_jz_i})$
若根轨迹与虚轴相交，可以令 $s=j\omega$ 代入根轨迹方程，分别令实部和虚部等于零求得 $K^*,\omega$

广义根轨迹

尽管我们在前面一直是以根轨迹增益作为变化的参数进行根轨迹绘图，但是这并不代表根轨迹的全部。我们在定义根轨迹时用的是系统的某一参数从零变化到无穷时根的变化轨迹，所以其他参数也可以变化进行根轨迹绘图，这样的根轨迹称为广义根轨迹。

参数根轨迹

只要可以将闭环特征方程变化成如下形式：

A \frac{P (s)}{Q (s)} = - 1

$A\frac{P(s)}{Q(s)} = -1$

$A$ 为变化的参数， $P(s),Q(s)$ 为与A无关的首一多项式。

零度根轨迹

如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制方法来绘制系统的根轨迹，因为其相角遵循 $0^\circ+2k\pi$ 条件。

所谓的非最小相位，指在 $s$ 右半平面具有开环零极点的控制系统。

相比于绘制最小相位的根轨迹，非最小相位的方法只需要改动几处即可：

渐近线的夹角：

φ_{a} = \frac{2 k π}{n - m}

$\varphi_a = \frac{2k\pi}{n-m}$

起始角和终止角：

θ_{p_{i}} = 2 k π + (\sum_{j = 1}^{m} φ_{z_{j} p_{i}} - \sum_{j = 1 (j \neq i)}^{n} θ_{p_{j} p_{i}}) φ_{z_{i}} = 2 k π + (\sum_{j = 1 (j \neq i)}^{m} φ_{z_{j}} φ_{z_{i}} - \sum_{j = 1}^{n} θ_{p_{j} z_{i}})

$\theta_{p_i} = 2k\pi +(\sum_{j=1}^m\varphi_{z_jp_i} - \sum_{j=1\\(j\ne i)}^n\theta_{p_jp_i})\\ \varphi_{z_i} = 2k\pi +(\sum_{j=1\\(j\ne i)}^m\varphi_{z_j}\varphi_{z_i} -\sum_{j=1}^n\theta_{p_jz_i})$

5. 线性系统的频域分析法

频率特性

直接说结论：对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是输入同频率的谐波函数，而幅值和相位的变化是频率 $\omega$ 的函数

利用该特性可以求解系统的稳态误差，例如系统输入为 $A\sin\omega_0t$ , 则输出为

e_{s s} (t) = A \cdot A (ω_{0}) \sin (ω_{0} t + φ (ω_{0}))

$e_{ss}(t) = A\cdot A(\omega_0)\sin(\omega_0t + \varphi(\omega_0))$

定义输出响应中与输入同频率的谐波分量的幅值之比为幅频特性 $A(\omega)$ ，定义相位之差为相频特性 $\varphi(\omega)$

定义

G (j ω) = A (ω) e^{j φ (ω)}

$G(\mathrm j\omega) = A(\omega)e^{\mathrm j\varphi(\omega)}$

为系统的频率特性。

直接在传递函数中令 $s = \mathrm j\omega$ 可得到频率特性

by the way, for

G (s) = \frac{K}{s^{v}} \cdot \frac{\prod_{i = 1}^{m} (s + b_{i})}{\prod_{j = 1}^{n} (s + a_{j})}, (b_{i} \neq 0, a_{j} \neq 0)

$G(s) = \frac K{s^v}\cdot\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m(s+b_i)}{\displaystyle\prod_{j=1}^n(s+a_j)},\quad (b_i\ne0,a_j\ne0)$

its frequency characteristic is:

G (j ω) = \frac{K}{(j ω)^{v}} \sqrt{\frac{\prod_{i = 1}^{m} (ω^{2} + b_{i}^{2})}{\prod_{j = 1}^{n} (ω^{2} + a_{j}^{2})}} \cdot e^{j (\sum_{i = 1}^{m} \arctan (\frac{ω}{b_{i}}) - \sum_{j = 1}^{n} \arctan (\frac{ω}{a_{j}}))}

$G(\mathrm j\omega) = \frac K{(\mathrm j\omega)^v}\sqrt{\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^m(\omega^2+b_i^2)}{\displaystyle\prod_{j=1}^n(\omega^2+a_j^2)}}\cdot e^{\displaystyle \mathrm j(\sum_{i=1}^m\arctan(\frac\omega{b_i})-\sum_{j=1}^n\arctan(\frac\omega{a_j}))}$

方向：

0：向左
-180：向右
-270：向下
-90：向上

频率特性的几何表示法

奈奎斯特图：幅相频率特性曲线

伯德图：对数频率特性曲线

尼科尔斯图：对数幅相曲线

典型环节与开环系统的频率特性

七种最小相位环节：

比例环节： $K(K>0)$
惯性环节： $\dfrac1{Ts+1}$
一阶微分环节： $Ts+1$
振荡环节： $\dfrac1{\dfrac{s^2}{\omega_n^2}+2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1}$
二阶微分环节： $\dfrac{s^2}{\omega_n^2}+2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1$
积分环节： $\dfrac1s$
微分环节： $s$

七种非最小相位环节：

比例环节： $K(K<0)$
惯性环节： $\dfrac1{Ts-1}$
一阶微分环节： $Ts-1$
振荡环节： $\dfrac1{\dfrac{s^2}{\omega_n^2}-2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1}$
二阶微分环节： $\dfrac{s^2}{\omega_n^2}-2\dfrac{\zeta s}{\omega_n}+1$
积分环节： $\dfrac1s$
微分环节： $s$

最小相位环节的零、极点位于 $s$ 左半平面，非最小相位刚好相反。

最小相位和非最小相位伯德图的关系

若两个传递函数互为倒数，则它们的bode图关于 $\omega$ 轴对称

惯性环节和一阶微分环节

惯性环节：

G (s) = \frac{1}{1 + T s} A (ω) = \frac{1}{\sqrt{T^{2} ω^{2} + 1}} φ (ω) = - \arctan T ω

$G(s) = \frac1{1+Ts}\\ A(\omega) =\frac1{\sqrt{T^2\omega^2+1}}\\ \varphi(\omega) = -\arctan T\omega$

近似地：

当 $\omega\ll\dfrac1T$ 时， $A(\omega)\approx1$
$\omega\gg\dfrac1T, A(\omega)\approx\dfrac1{T\omega},L(\omega)=-20(\lg\omega-\lg\dfrac1T)$
$\omega=\dfrac1T, T\omega=1,L(\omega)=-10\lg2\approx3\mathrm{dB}$

惯性环节的幅相特性图为一个以 (1/2, 0)为圆心，1/2为半径的圆方程

一阶微分环节的幅频特性图与惯性环节的关于 $\omega$ 轴对称

振荡环节和二阶微分环节

两个特征点需要记住：谐振点、转折点

谐 振 点 : {\begin{cases} ω = ω_{n} \sqrt{1 - 2 ζ^{2}} \\ A (ω_{r}) = \frac{1}{2 ζ \sqrt{1 - ζ^{2}}} \end{cases} 转 折 点 : {\begin{cases} ω = ω_{n} \\ A (ω_{n}) = \frac{1}{2 ζ} \\ φ (ω_{n}) = - 90^{\circ} \end{cases}

$谐振点:\begin{cases}\omega=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\\A(\omega_r)=\dfrac1{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \end{cases}\quad 转折点:\begin{cases}\omega=\omega_n\\A(\omega_n)=\dfrac1{2\zeta}\\\varphi(\omega_n)=-90^\circ \end{cases}$

蓝色曲线对应大致的曲线，蓝色曲线上的转折点就是刚才说的转折点。红色部分表明实际还有一个谐振峰值，谐振点就是该点。

综合对比

bode图的绘制

通常 $G(s)H(s)$ 可以写成若干个典型环节串联的形式：

G (s) H (s) = G_{1} (s) G_{2} (s) G_{3} (s) \Rightarrow {\begin{cases} L (ω) = L_{1} (ω) + L_{2} (ω) + L_{3} (ω) \\ φ (ω) = φ_{1} (ω) + φ_{2} (ω) + φ_{3} (ω) \end{cases}

$G(s)H(s)=G_1(s)G_2(s)G_3(s) \Rightarrow\begin{cases}L(\omega)=L_1(\omega)+L_2(\omega)+L_3(\omega)\\\varphi(\omega) = \varphi_1(\omega)+\varphi_2(\omega)+\varphi_3(\omega) \end{cases}$

一般需要对振荡环节和二阶微分环节进行修正

由 $L(\omega)$ 反求传递函数

通过绘制 bode 图的步骤我们可以反推出传递函数

比如如下图的一个bode图

低频段的斜率就是-20, 说明存在微分环节，而在 $\omega=1$ 时不为0, 而是15。则有

20 \lg K = 15 \Rightarrow K \approx 5.62

$20\lg K = 15\Rightarrow K \approx 5.62$

在 $\omega=2$ 时，斜率下降20, 说明存在惯性环节 $1/0.5\omega+1$

在 $\omega=7$ 时，斜率又上升20, 说明存在一阶微分环节 $\omega/7+1$

所以完整的传递函数为

G (s) = \frac{5.62 (s / 7 + 1)}{s \cdot (0.5 s + 1)}

$G(s) = \frac{5.62(s/7+1)}{s\cdot (0.5s+1)}$

频域稳定判据

幅角定理

设 $s$ 平面上一闭合曲线 $\Gamma$ 包含 $Z$ 个闭环零点和 $P$ 个闭环极点，当 $s$ 平面上一点绕 $\Gamma$ 顺时针运动一周后，对应 $F(s)$ 平面上的运动的点形成的闭合曲线 $\Gamma_F$ 绕原点的圈数为

R = P - Z

$R = P-Z$

$R<0$ 和 $R>0$ 分别表示 $\Gamma_F$ 顺时针和逆时针包围原点的圈数。

$F(s)$ 的选择

F (s) = 1 + G (s) H (s)

$F(s) = 1+G(s)H(s)$

$F(s)$ 的极点就是系统开环传递函数的极点
$F(s)$ 的零点就是系统闭环传递函数的极点

$\Gamma_F$ 可由 $\Gamma_{GH}$ 向右移动一位而得

$\Gamma$ 曲线的选择

说到 $\Gamma$ 曲线的选择，我们需要考虑的是如何利用幅角定理来进行系统稳定性的频域判定。

前面提到 $F(s)$ 的零点就是系统闭环传递函数的极点，而系统稳定的充要条件是闭环传递函数的极点的实部均为负数。因此选择 $\Gamma$ 曲线包围 $s$ 平面的右半平面，若 $F(s)$ 在 $s$ 右半平面的零点数为0, 说明系统稳定。

同时根据幅角定理，从侧面也说明 $\Gamma_{F}$ 绕原点逆时针旋转的圈数

R = P

$R= P$

如果满足这个条件，说明 $F(s)$ 在 $s$ 右半平面无零点，说明系统稳定。

$G(s)H(s)$ 闭合曲线的绘制

若虚轴上无极点

$\Gamma_{GH}$ 在 $s=j\omega，\omega\in[0,+\infty)$ 时，对应开环幅相曲线；

$\Gamma_{GH}$ 在 $s=\infty e^{j\omega}$ 时，对应原点(n>m) 或对应开环根轨迹增益(n=m)
若虚轴上有极点

闭合曲线 $\Gamma_F$ 包含原点圈数 R 的计算

$N_+$ 表示 $\Gamma_{GH}$ 在 $(-1,j0)$ 左侧从上至下穿越的次数， $N_-$ 表示从下至上穿越的次数。

R = 2 (N_{+} - N_{-})

$R= 2(N_+-N_-)$

如果从实轴开始或者停止在实轴上，则算半次穿越。

稳定裕度

相角裕度 $\gamma$

A (ω_{c}) = | G (j ω_{c}) H (j ω_{c}) | = 1 γ = 180^{\circ} + ∠ G (j ω_{c}) H (j ω_{c})

$A(\omega_c) = |G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1\\ \gamma = 180^\circ + \angle{G(j\omega_c)H(j\omega_c)}$

表示系统开环特性如果再滞后 $\gamma$ 度，则系统将处于临界稳定状态。

幅值裕度 $h$

φ (ω_{x}) = ∠ G (j ω_{x}) H (j ω_{x}) = (2 k + 1) π h = \frac{1}{| G (j ω_{x}) H (j ω_{x}) |}

$\varphi(\omega_x) = \angle{G(j\omega_x)H(j\omega_x)} = (2k+1)\pi\\ h = \frac1{|G(j\omega_x)H(j\omega_x)|}$

表示如果系统的开环幅频特性再增大 $h$ 倍，系统将处理临界稳定状态。

闭环系统的频域性能指标

频带宽度

频率为零时的分贝值以下3分贝，对应的频率称为带宽频率 $\omega_b$

by the way, $-3=20\lg\dfrac1{\sqrt2}$

二阶系统频域指标与時域指标的关系

写在纸上

线性系统的校正方法

常用校正装置及其特性

无源校正网络

对于上述电路进行分析可以得到

a G (s) = \frac{1 + T a s}{1 + T s} a = \frac{R_{2} + R_{1}}{R_{2}}, T = \frac{R_{1} R_{2} C}{R_{1} + R_{2}}

$aG(s) = \frac{1+Tas}{1+Ts}\\ a = \frac{R_2+R_1}{R_2},T=\frac{R_1R_2C}{R_1+R_2}$

该传递函数有一个极点和一个零点

根据传递函数可以画出bode图和尼科尔斯图：

可以发现在频率 $\dfrac1{aT}$ 和 $\dfrac1T$ 之间的频率对相角有超前作用，且最大超前角的频率 $\omega_m$ 位于这个范围的几何中心。

无源滞后网络

对于如图的电路进行分析后可以发现

G (s) = \frac{1 + b T s}{1 + T s} b = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} < 1, T = (R_{1} + R_{2}) C

$G(s) = \frac{1+bTs}{1+Ts}\\ b = \frac{R_2}{R_1+R_2}<1,T=(R_1+R_2)C$

通过尼科尔斯图可以看出，对相角有滞后作用。

通过bode图来看，滞后网络对低频有用信号无衰减，而对高频噪声信号产生衰减， $b$ 越小，通过网络的噪声电平越低。

无源滞后-超前网络

串联校正

开环频率特性的

低频段表征了闭环系统的稳态性能
中频段表征了闭环系统的动态性能
高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制性能

无源超前网络校正的步骤：

根据稳态误差要求，确定开环增益；

$e_{ss}(\infty) = \frac1K$
利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；

需要先画出bode图
根据截止频率 $\omega''_c$ 的要求，计算超前网络参数 $a$ 和 $T$

这里需要选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率 $\omega_m=\omega_c''$

通过bode图查看对应 $\omega_m$ 处的幅值，并利用公式

$-L'(\omega_c'')=L_c(\omega_m) = 10\lg a\\ T=\frac1{\omega_m\sqrt a}$
计算得到 $a$ 和 $T$
验算已校正系统的相角裕度

验算首先需要根据bode图求得截止频率，然后根据相角裕度的定义求得原相角裕度 $\gamma(\omega_c'')$

然后利用公式 $\varphi_m = \arcsin\dfrac{a-1}{a+1}$ 计算无源超前网络带来的超前角

然后利用 $\gamma''=\varphi_m+\gamma(\omega_c'')$ 计算得到新的相角裕度，并验证是否满足题目要求, 一般要求相角裕度大于 $45^\circ$

有些情况采用超前校正是无效的，受以下两个因素的限制：

为了满足要求的相角裕度，需要 $a$ 很大，从而导致带宽很大，带来过多的高频噪声干扰；
在截止频率附近相角迅速减小的系统，不宜采用串联超前校正

串联滞后校正

posted @ 2021-01-18 22:06 kaleidopink 阅读(6522) 评论(0) 编辑收藏举报

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