数字调制技术原理

数字调制技术原理

3-1 基带数字信号传输

1. 基带数字信号的码型

格雷码转换为普通二进制码：

$$b_{n-1} = g_{n-1}\\ b_i-g_{n-1}\oplus g_{n-1}\oplus\cdots\oplus g_i,0\le i\le n-2$$

普通二进制码转格雷码：

$$g_{n-1}= b_{n-1}\\ g_i = b_{i+1}\oplus b_i, 0\le i\le n-2$$

采用格雷码可以减小平均误码率，因为最容易发生差错的是相邻两个电平。

对于码元宽度为 $T_b$ 的不归零码来说，其有效带宽为

$$B_{s} = \frac1{T_b}$$

2. 基带数字信号的传输性能

由于传输频带有限，数字信号会由于脉冲失真而产生拖尾现象，对邻近的码元信号产生码间干扰。

不产生码间干扰的条件

为了不产生码间干扰，传输信道的等效传递函数需要满足：

$$G_{R,eq}(\omega) = \begin{cases}C,|\omega|<\dfrac{\pi}{T_b}\\ 0,|\omega| <\dfrac{\pi}{T_b}\end{cases}$$

理想的低通传输特性

仔细观察上述等效传递函数可以发现其很像一个低通滤波器。

理想的低通滤波器的傅立叶变换为

$$H_1(\omega) = T_be^{-j\omega t_d},|\omega|<\frac\pi{T_b}$$

当输入单位冲激函数时，输出即为其逆傅立叶变换

$$h_1(t) = S_a\left[\frac\pi{T_b}(t-t_d)\right]$$

$S_a$为正弦积分函数

上述冲激响应的零点可由下式确定

$$\frac\pi{T_b}(t-t_d) = N,N=\pm1,\pm2,\cdots$$

所以，如果每隔 $T_b$ 进行采样判决，就可以正确地区分各信号码元。

码元传输速率为 $R_b = \frac1{T_b}$

而低通滤波器的截止频率为 $\displaystyle{\frac\pi{T_b}}$，等效的频带宽度为 $\displaystyle{B_1=\frac1{2T_b}}$

因此在理想低通滤波器下的频带利用率为

$$\eta = \frac{R_b}{B_1} = 2\mathrm{bit/(s\cdot Hz)}$$

这个也是能够达到的数字信号传输的极限性能。

升余弦滚降的低通传输特性

但理想低通特性在物理上是不可实现的，即使可以得到相当逼近的理想特性，对于采样判决的定时精度要求也很高。因此需要进行修正。

将传递函数的频域特性从矩形改为中间凸两边凹的形状有助于改善，这样的图形说明不在 $T_b$ 的整倍时间内的输入的响应会很快衰减下去，不至于造成码间干扰。

但是，升余弦滚降的传输特性是以增加传输频道宽度为代价的，升余弦滚降的频带宽度为 $B_2 =\frac1{T_b}$。

为了说明滚降以后的频带宽度，可以导入滚降系数 $\alpha$，它是超出矩形特性的部分频带与理想带宽 $B_1$ 之比。滚降系数越小，则波形振荡起伏越大，但传输带宽越小；滚降系数越大，则波形越平缓，传输带宽要增加。

作为两个极端情况，$\alpha = 0$ 即为理想低通滤波器，$\alpha=1$ 即为升余弦低通。当 $0<\alpha<1$，频带利用率为

$$\eta_B = \frac2{1+\alpha}$$

3. 基带数字信号的误码性能

码间干扰和噪声干扰是造成误码的两个主要原因。

误码率的计算

设 $v_b$ 为判决门限，当接收端的采样值大于判决门限时便判断为1。

则平均误码率为

$$P_e = P_{Se}+P_{Me} = P(s_0)P(y\ge v_b|s_0)+P(s_1)P(y<v_b|s_1)$$

通常将高斯分布的白噪声作为信道噪声。设高斯噪声的均值为0，方差为 $\sigma_n^2$（表示噪声的平均功率）其一维概率密度函数为

$$p(z) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_n^2}\right)$$

假定在接收端一个采样点上的信号幅度分别为 $A_1$ 或 $A_0$，则发送“1”码和“0”码时混噪信号的一维概率密度为

$$p_1(y) =\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\left[-\frac{(y-A_1)^2}{2\sigma_n^2}\right]\\ p_0(y) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\left[-\frac{(y-A_0)^2}{2\sigma_n^2}\right]$$

则平均误码率为

$$P_e = \frac12\int_{v_b}^\infty p_0(y)\mathrm dy+\frac12\int_{-\infty}^{v_b}p_1(y)\mathrm dy$$

最佳判决门限

不难球的最佳门限为

$$v_{b0} = \frac{A_0+A_1}2$$

当传输衰减发生变化时，单极性码难以保持判决门限为最佳值，而双极性码总是可以保持为零。这也是双极性码优于单极性码的原因之一。

在最佳门限条件下，可能得到的最小平均误码率为

$$P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\frac A{2\sqrt2\sigma_n})$$

$\mathrm{erfc}$ 为互补误差函数，当自变量 $x\ge4$ 时，

$$\mathrm{erfc}(x_0)\approx \frac1{\sqrt\pi x_0}e^{-x_0^2}$$

单极性码的平均功率信噪比为

$$r_S = \frac{A^2}{2\sigma_n^2}$$

双极性码的平均功率信噪比为

$$r_D = \frac{A^2}{4\sigma_n^2}$$

3-2 二元数字调制

二元数字调制基本上有幅移键控（ASK）、频移键控（FSK）和相移键控（PSK）三种方式。这里的S是 shift的意思。

3.2.1 ASK信号的传输性能

1. ASK信号的调制

输入的随机数字序列为

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_kg(t-kT_b)$$

$T_b$ 表示码元宽度，$g(t)$ 是归一化的不归零矩形脉冲波形，即 $g(0) =1$；随机变量 $a_k$ 只能取“0”或“1”，且两者概率相等。

载波信号为

$$c(t) = A\cos\omega_0t$$

假设码元宽度 $T_b$ 是载波周期 $T_0=2\pi/\omega_0$ 的整数倍。

则调制后的信号为

$$S_{\mathrm{ASK}}(t) = \left[\sum_{k=-\infty}^\infty a_kg(t-kT_b)\right]\cdot A\cos\omega_0t$$

从这里我们就可以看出幅移键控的真正含义，在 $t_i$ 时刻取值的输入信号需要乘上一个 $A\cos\omega_0t_i$，从而使得输出的幅度变得与时间相关，具有了频移的效果。

随机数字序列乘上载波以后，已调信号的频谱将把随机信号的功率谱搬移到载波频率 $f_0(f_0 = 2\pi/\omega_0)$ 处，同时其幅度乘以1/4。

ASK信号的有效频带宽度是不归零矩形脉冲功率谱零点宽度的2倍，即

$$B_{\mathrm{ASK}} = 2\cdot\frac1{T_b} = 2R_b$$

2. ASK信号的解调

a. 相干解调

接收端经中心频率为 $\omega_0$ 的带通滤波器选择出ASK信号，与本地相干载波 $c'(t)$ 相乘，经低通滤波器滤除 $2\omega_0$ 的高频成分后，解调出来的信号再经采样判决，恢复出随机数字序列。

这里要求接收端的相干波 $c'(t)$ 和发送端的载波 $c(t)$ 为同频同相关系。

$$S_{\mathrm{ASK}}(t)c'(t) = \begin{cases}A\cos\omega_0t\cdot2\cos\omega_0t = A(1+\cos2\omega_0t)\quad传号\\0\quad空号 \end{cases}$$

b. 非相干解调

3. ASK信号的误码性能

在前面我们知道了误码率 $P_e$ 包括漏报概率 $P_{\mathrm{Me}}$ 和虚报概率 $P_{\mathrm{Se}}$ 两项，当判决门限为 $v_b$ 时，误码率计算公式为

$$P_{\mathrm{e}} = \frac12\int_{-\infty}^{v_b}p_1(y)\mathrm dy+\frac12\int_{v_b}^\infty p_0(y)\mathrm dy$$

a. 相干解调时的误码率

最佳判决门限为

$$v_{b0} = \frac A2$$

误码率

$$P_{\mathrm e} = \frac12\mathrm{erfc}(\frac{\sqrt r}2)$$

信噪比

$$r = \frac{A^2}{2\sigma^2}$$

b. 非相干解调时的误码率

当功率信噪比 $r = \frac{A^2}{2\sigma_n^2}$ 远大于1时，

$$v_{b0} \approx \frac A2\\ P_e\approx \frac12e^{-\frac r4}$$

3.2.2 FSK 信号的传输性能

用二元码来键控载波的频率，称为频移键控。

相位不连续的频移键控信号

由单极性不归零矩形码对两个独立的载频振荡器进行键控，可以产生相位不连续的 FSK 信号。

$$S_{\mathrm{FSK}}(t) = \begin{cases}A\cos(\omega_2t+\theta_2),\quad传号\\A\cos(\omega_1t+\theta_1),\quad空号 \end{cases}$$

$\theta_1$和$\theta_2$ 是均匀分布在 $(-\pi,\pi)$ 的随机变量。

有一张图可以很好的描述频移键控的原理

FSK 信号的频带宽度为

$$B_{\mathrm{FSK}} = (5～7)R_b$$

FSK 的误码性能

1）相位不连续的FSK信号的误码性能

注：一般这里讨论的都是最佳判决门限下的误码性能。

相干解调时

$$P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\sqrt{\frac r2})\approx \frac1{\sqrt{2\pi r}}e^{-r/2}$$

非相干解调时

$$P_e = \frac12e^{-r/2}$$

3.2.3 PSK信号的传输性能

以双极性不归零码对载波相位进行键控，就可以得到相移键控信号。PSK信号是相位不连续的恒包络波形。

$$S_{\mathrm{PSK}}(t) =\begin{cases} S_1(t) = A\cos\omega_0 t\quad 传号\\ S_0(t) = A\cos(\omega_0t+\pi)\quad 空号 \end{cases}$$

这一类信号的相位与“传号”和“空号”唯一地对应着，因此被称为绝对相移键控。另一类相对相移键控（差分相移键控，DPSK）的载波相位还会由前一个码元的载波相位与本码元的信号来共同决定。

如果是传号，则改变前一个波的相位；如果是空号，则保持相位。

相移键控信号的有效频带宽度与ASK信号相同，频带利用率也为 $\displaystyle{\frac12\mathrm{bit/(s\cdot Hz)}}$

PSK的误码性能

$$P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\sqrt r)$$

DPSK的误码性能

采样相干解调

$$P_e' \approx 2P_e = \mathrm{efrc}(\sqrt r)$$

采样差分相干解调

$$P_e = \frac12e^{-r}$$

3.2.4 三种调制方式的误码率总结

调制类型	接收方式	误码率	调制类型	接收方式	误码率
ASK	相干	$\frac12\mathrm{erfc}(\sqrt{r}/2)$	PSK	相干	$\frac12\mathrm{erfc}(\sqrt r)$
	非相干	$\frac12 e^{-r/4}$
FSK	相干	$\frac12\mathrm{erfc}(\sqrt{r/2})$	DPSK	相干	$\mathrm{erfc}(\sqrt r)$
	非相干	$\frac12e^{-r/2}$		差分相干	$\frac12e^{-r}$

3.3 Multiple Digital Modulation

3.3.1 MASK

与ASK非常相似，只需要将ASK中只能取 0 和 1 的随机变量 $a_k$ 改为多电平随机变量。通常取 $M = 2^k$

平均信号功率为 $\displaystyle{\frac{M^2-1}3\cdot \frac{A^2}4}$

频带利用率

相比于ASK信号，MASK信号仅仅因为幅度传输了多元的信息而提高了频带利用率，因此频带利用率为

$$\eta_{\mathrm{MASK}} = \frac{R_B}{B_{\mathrm{MASK}}} = \frac{R_b}{B_{\mathrm{ASK}}}\cdot\mathrm{lb}M$$

即相比于ASK信号提升了 $\mathrm{lb}M$ 倍。

误码性能

采样相干解调

接收端需要设置 (M-1) 个判决电平，假设它们都设在两个相邻信号电平中间

$$P_e = \frac{M-1}M\mathrm{erfc}\left(\frac12\sqrt{\frac3{M^2-1}r_M}\right)$$

3.3.2 MFSK

频带利用率

MFSK可以理解为M个振幅相同、载频不同、时间上不相容的二元幅移键控信号的叠加。

设 $2R'_B$ 为两个相邻ASK信号的载频之差。则MFSK信号的频带宽度为

$$B_{\mathrm{MFSK}} = f_M-f_1+2R_B'$$

同时 $R_B'$ 还表示码元的传输速率 $\displaystyle{R_B'=\frac1{T_b'}}$，$T_b'$ 表示码元宽度。

当频带利用率最佳时，这M个ASK信号在频域上刚好互不重叠。此时频带宽度和带宽利用率为

$$B_{\mathrm{MFSK}} = 2MR_B'\\ \eta_{B_{\mathrm{MFSK}}} = \frac{\mathrm{lb}M}{2M}$$

误码性能

不管是采样包络检测还是相干解调，MFSK的误码率都是FSK的 $(M-1)$ 倍。

3.3.3 MPSK

MPSK信号由 M 个均匀相移的等幅同频载波构成。

$$S_{\mathrm{MPSK}}(t) = A\cos(\omega_0t+\theta_i),i=0,1,\cdots,M-1$$

相位 $\theta_i$ 可以是相移 $\displaystyle{\frac M\pi}$ 的奇数倍或者偶数倍。

频带宽度

$$B = 2R_b$$

因此，可以把MPSK信号看成M个幅度和频率相同、初相不同的PSK信号之和，因此信息传输速率为PSK信号的 $\mathrm{lb}M$ 倍，频带利用率也提高了 $\mathrm{lb}M$ 倍。

频带利用率

$$\eta_{\mathrm{MPSK}} = \frac{R_B}{B_{\mathrm{MPSK}}} = \frac{R_b}{B_{\mathrm{PSK}}}\cdot\mathrm{lb}M$$

误码性能

合成波形的相位在 $\displaystyle{-\frac{\pi}M～\frac\pi M}$ 内变化，则不会发生错误判决。

$$P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\sqrt r\sin\frac\pi M)$$

3.3.4 多种多元调制方法的优劣比较

以频带利用率来比较，MFSK最差，其他两个一致；

误码性能来比较，MASK中以双极性码相干解调为最佳；

3-5 多元正交调幅

正交调幅(QAM)是将两个独立的双极性、不归零基带序列分别对两个互相正交的同频载波进行抑制载波的双边带调制。因为在频谱上具有正交性，因此在频域上很容易进行分离 。

在输入一组数据后，将这组数据的奇数位码元，送入A路，与载波 $\cos\omega_0t$ 相乘后具有 $0$ 和 $\pi$ 两个相位；将这组数据的偶数位码元，送入B路，与载波 $\sin\omega_0t$ 相乘后具有 $\displaystyle{\pm\frac{\pi}2}$ 两个相位。

频带宽度

$$B_{\mathrm{QAM}} = 2R'_b = 2\frac1{T_b'}$$

多元正交调幅（MQAM）

多元正交调幅是一种综合了调幅和调相的调制方式。将多进制数字通过格雷码进行二进制编码之后，确定一个星座图。星座图任意两点间的欧氏距离的最小值决定了误码性能。像16PSK信号具有和16QAM同样的频带利用率，但是在信号图上的最小距离小于16QAM.