线性系统的根轨迹法

线性系统的根轨迹法

4-0 传递函数的零点和极点

在了解根轨迹法之前，我们先回顾一下第2章讲的传递函数的零点和极点的概念。

我们可以将开环传递函数因式分解为如下形式：

$$G(s) = K^*\frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod_{j=1}^n(s-p_j)}$$

开环传递函数的极点将在输出响应中，除了输入函数的模态，加上由所有形成的自由运动模态。而零点虽然不形成自由运动的模态，但是影响各模态在响应中所占的比重。

4-1 根轨迹法的基本概念

1. 根轨迹概念

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 $s$ 平面上变化的轨迹。

因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在 $s$ 平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环i系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。

2. 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系

$$G(s) = K_G^*\frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod_{j=1}^n(s-p_j)}\\ H(s) = K_H^*\frac{\prod_{j=1}^l(s-z_j)}{\prod_{j=1}^h(s-p_j)}\\ $$

又有

$$\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+H(s)G(s)}$$

所以

$$\Phi(s) = \frac{K_G^*\prod_{i=1}^f(s-z_i)\prod_{j=1}^h(s-p_j)}{\prod_{i=1}^n(s-p_i)+K^*\prod_{j=1}^m(s-z_j)}$$

结论：

1. 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；
2. 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点；
3. 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 $K^*$ 均有关。

3. 根轨迹方程

令闭环传递函数的分母等于0，可得系统特征方程，which is

$$K^*\frac{\prod_{j=1}^m(s-z_j)}{\prod_{i=1}^n(s-p_i)} = -1$$

这就是根轨迹方程。

根轨迹方程也可以用如下两个方程描述：

$$\sum_{j=1}^m\angle(s-z_j)-\sum_{i=1}^n\angle(s-p_i)=(2k+1)\pi\quad k=0,\pm1,\pm2,\cdots\\ K^* = \frac{\prod_{i=1}^n|s-p_i|}{\prod_{j=1}^m|s-z_j|}$$

这两个方程分别被称作相角条件和模值条件。

相角条件是确定 $s$ 平面上根轨迹的充要条件，只有当需要确定根轨迹上各点的 $K^*$ 值时，才需要用到模值条件。

4-2 根轨迹绘制的基本法则

部分证明

法则1 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点

证明：系统特征方程为

$$\prod_{i=1}^n(s-p_i)+K^*\prod_{j=1}^m(s-z_j)=0$$

分别令 $K^*=0$ 和 $K^*=\infty$ 就可以得到答案。

法则2 根轨迹的分支数与开环有限零点数 $m$ 和有限极点数 $n$ 中的大者相等，它们是连续的并对称于实轴。

法则3 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数 $n$ 大于有限零点数 $m$ 时，有 $n-m$ 条根轨迹分支沿着与实轴交角为 $\phi_a$、交点为 $\sigma_a$ 的一组渐近线趋向无穷远处，且有

$$\varphi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m}\\ \sigma_a = \frac{\sum_{i=1}^np_i-\sum_{j=1}^mz_j}{n-m}$$

法则4 根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其邮编开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。