控制系统数学模型

第二章 控制系统的数学模型

在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型，描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫做动态数学模型。

建立控制系统的数学模型的方法包括分析法和实验法两种。分析法是对系统内各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写出相应的运动方程。实验法则是人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。

2-1 控制系统的时域数学模型

先给出常用元件的常见关系方程：

电容：

$$u(t) = \frac1C\int i(t)dt$$

电感：

$$u(t) = L\frac{\mathrm di(t)}{\mathrm dt}$$

阻尼器：

$$F(t) = f\cdot\frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}$$

旋转阻尼器

$$F(t) = k\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}$$

弹簧：

$$F(t) = Kx(t)$$

力矩复习

力矩的计算公式：

$$\mathrm M = \mathrm r\times \mathrm F$$

力矩与角动量之间的关系：

假设一个粒子的位置为$r$, 动量为$\mathrm p$ 。角动量的定义为 $\mathrm L = \mathrm r\times \mathrm p$，对两端求导得

$$\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\times \mathrm p + \mathrm r\times m\frac{\mathrm d\mathrm v}{\mathrm dt} = \mathrm r\times m\mathrm a$$

即 $\mathrm M = \frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}$

力矩与转动惯量之间的关系：

$$\mathrm M = I\omega$$

力矩与能量和功率之间的关系：

$$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2}M\mathrm d\theta\\ P = M\cdot \omega$$

线性系统的基本特性

两个外作用叠加输入的效果等于两个外作用分别输入的效果之和；外作用的数值增大若干倍时，其输出亦增加相同的倍数。

线性定常微分方程的拉氏变换法求解

可以先通过这篇文章了解一下拉普拉斯变换。

通过拉普拉斯变换求解线性定常微分方程的过程可归结如下：

1. 考虑初始条件，对微分方程的每一项进行拉普拉斯变换，将微分方程转换为关于 $s$ 的代数方程；
2. 求解该代数方程，得到输出量拉氏变换函数的表达式；
3. 对输出量拉氏变换函数进行逆变换，得到输出量的时域表达式。

非线性微分方程的线性化

现实中最常见的一种线性化的方式就是忽略那些没有太大影响的非线性因素。因为现实中真的极少存在线性系统。

还有一种方法是切线法或者极小偏差法，将非线性函数在一段很小的区间内看做一条直线进行求解。

具体方法为：对于函数 $f(x)$，我们在一个很小的区间内 $[x_0,x_0+\Delta x]$，如果 $f(x)$ 在这一点可微，则可以进行泰勒函数展开：

$$y = f(x_0) +\sum_{i=1}^\infty \frac1{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i$$

当 $\Delta x$ 真的很小时，完全可以略去二阶以上的导数。化得线性函数

$$y - y_0 = f^{'}(x_0)(x-x_0)$$

对于双变量的函数，则有

$$\Delta y = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \right)_{x_{10},x_{20}}\Delta x_1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2} \right)_{x_{10},x_{20}}\Delta x_2$$

运动的模态

在数学上，线性微分方程的解有特解和通解组成。通常由微分方程的特征根所决定，它代表自由运动。如果n阶微分方程的特征根是 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 且无重根，则把函数 $e^{\lambda_1t,\cdots,e^{\lambda_nt}}$ 叫做该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。每一种模态代表一种类型的运动形态。

如果特征根有多重根 $\lambda$，则模态会具有形如 $e^{\lambda t},te^{\lambda t},t^2e^{\lambda t},\cdots$ 的函数，具体从左至右取几个取决于有几重根。

如果特征根有共轭复根 $\lambda=\sigma\pm \mathrm j\omega$，则可写成实函数模态 $e^{\sigma t}\sin\omega t,e^{\sigma t}\cos\omega t$。

2-2 控制系统的复数域数学模型

控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的初始响应。但是当系统的结构改变或某个参数变化时，就需要重新求解微分方程。

用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型——传递函数。传递函数可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。

1. 传递函数的定义和性质

线性定常系统的传递函数定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

性质

1. 传递函数是复变量$s$ 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；且所有系数均为实数。
2. 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关。
3. 传递函数与微分方程有相通性，在零初始条件下，将微分方程的算符 $d/\mathrm dt$ 用复数 $s$ 替换便可得到传递函数。反过来亦可以。

传递函数的零点和极点

传递函数的分子多项式和分母多项式经过因式分解后可以写成如下形式：

$$G(s) = K^*\frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod_{j=1}^n(s-p_j)}$$

$z_i$ 称为系统的零点，$p_j$ 称为系统的极点。

传递函数的极点和零点对输出的影响

传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态。比如极点 $p_1=-1,p_2=-2$ 的系统自由运动的模态为 $e^{-t}$ 和 $e^{-2t}$。

传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。