拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

由于古典意义下的傅里叶变换存在的条件是$f(t)$除了满足狄拉克雷条件以外，还要在$(-\infty,\infty)$上绝对可积，许多函数都不满足这个条件。在很多实际问题中，存在许多以时间 $t$ 为自变量的函数，这些函数根本不需要考虑$t<0$的情况。

为了解决这个问题，人们发现可以通过将一些变换使得这些函数变得符合傅里叶变换的条件。

考虑一个函数$\varphi(t)$, 其在$t<0$的区间没有定义，也不满足在$[0,\infty)$绝对可积的限制。我们可以通过这样的变换使其满足限制：

1. 乘以单位阶跃函数

   $$u(t) = \begin{cases}0,t<0\\1,t>0\end{cases}$$

   这样在$t<0$的情况就完全不用考虑了。

2. 乘以一个衰减函数 $e^{-\beta t}$

   很多时候 $\varphi(t)$ 在$[0,\infty)$ 不可积是因为增长过快，所以我们乘以一个 $e$ 的负指数函数使其强制衰减。

这样傅里叶变换就变成了

$$F[\varphi(t)u(t)e^{-\beta t}] = \int_0^{+\infty}f(t)e^{-(\beta+i\omega )t}$$

令$s = \beta + i\omega$， 上式可以写成：

$$F(s) = \int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm dt$$

我们称这个函数为 $f(t)$ 的拉普拉斯变换(Laplace Transform)，记为 $L[f(t)]$。

拉氏变换的存在条件

由于拉氏变换是通过负指数函数来使得原函数强制衰减，所以要求原函数在 $t\rightarrow\infty$ 时增长速度不能超过指数函数。一般也不会有函数的增长速度可以超过指数函数了，所以这个限制其实非常宽泛了。

常见函数的拉普拉斯变换

这里只给结论，不给过程

$$L[\sin\omega t] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\\ L[\cos\omega t] = \frac{s}{s^2+\omega^2}\\ L[t^m] = \frac{m!}{s^{m+1}}\quad (m\ge0)\\ L[\delta(t-t_0)] = e^{-st_0} \quad \delta(t-t_0)为单位脉冲$$

当函数 $f(t)$ 为周期函数时，设周期为 T，则有

$$L[f(t)] = \frac1{1-e^{-sT}}\int_0^Tf(t)e^{-st}\mathrm dt$$

一般可利用这些基本函数的拉氏变换加上下文的拉氏变换的性质来求解复杂函数的拉氏变换。

定理

(1) 如果$\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ 在 $s_1 = \beta_1 + i\omega_1$处收敛，则这个积分在$Res > \beta_1$上处处收敛（by the way，Res表示留数），且由这个积分确定的函数$F(s)$在$Res > \beta_1$上解析。

(2) 如果$\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}$ 在 $s_2 = \beta_2 +i\omega_2$ 处发散，则这个积分在 $Res < \beta_2$ 上处处发散。

拉普拉斯变换的性质

1. 线性性质

2. 微分性质

   若 $L[f(t)] = F(s)$，则有

   $$L[f'(t)] = sF(s) - f(0)$$

3. 微分性质推论

   $$L[{f^{(n)}(t)}] = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) -\cdots-f^{(n-1)}(0)$$

4. 积分性质

   $$L\left[\underbrace{\int_0^t\mathrm d\tau\int_0^t\mathrm d\tau\cdots\int_0^t}_{n次}f(\tau)\mathrm d\tau \right] = \frac1{s^n}F(s)$$

5. 初值定理

   $$\lim_{t\rightarrow 0} f(t) = \lim_{s\rightarrow\infty}sF(s)$$

终值定理

$$\lim_{t\rightarrow\infty}f(t) = \lim_{s\rightarrow0}sF(s)$$

6. 平移性质

   $$L[e^{at}f(t)] = F(s-a)$$

7. 延迟性质

   $$\left.\begin{array} L[f(t-\tau)] = e^{-s\tau}F(s)\\L^{-1}[e^{-s\tau}F(s)] = f(t-\tau) \end{array} \right\}$$

拉普拉斯变换在解方程中的应用

拉氏变换是解常系数线性常微分方程的有力工具，基本思想是对方程两边同时做拉氏变换，利用拉氏变换的一些性质求出未知函数的像函数，再利用逆变换得到解。

在这里给出一个例子

示例

求方程 $y^{''} + y = t$ 满足初始条件 $y(0) = 1,y^{'}(0) = -2$ 的解。

解：

方程两边同时作拉氏变换得

$$L[y^{''}] + L[y] = L[t]\\ s^2Y(s) - sy(0) - y^{'}(0) + Y(s) = \frac1{s^2}$$

用$s$ 表示 $Y(s)$ ：

$$Y(s) = \frac1{s^2(s^2+1)} + \frac{s-2}{s^2+1}$$

作逆变换得

$$y(t) = t + \cos t - 3\sin t$$

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯变换常用的一个领域是用来求解线性微分方程，求解的过程常要让经过了拉普拉斯变换的方程进行逆变换变回去。

因为拉普拉斯逆变换其实就是函数 $f(t)u(t)e^{-\beta t}$ 的傅里叶变换，所以可以参照傅里叶逆变换

$$\begin{aligned} f(t)u(t)e^{-\beta t} &= \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)u(\tau)e^{-\beta\tau}e^{-\mathrm i\omega\tau}\mathrm d\tau \right]e^{\mathrm i\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\beta+\mathrm i\omega)e^{\mathrm i\omega t}\mathrm d\omega\ (t>0) \end{aligned}$$

等式两端同乘 $e^{\beta t}$得

$$f(t) = \frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\beta-\mathrm i\infty}^{\beta+\mathrm i\infty}F(s)e^{st}\mathrm ds\quad (t>0)$$

上面的积分是一个复变函数的积分，计算比较困难。但是当 $F(s)$ 满足一定条件时，可以用留数的方法进行计算。

定理：若函数 $F(s)$ 在$z-$复平面内除有限个孤立奇点之外处处解析，适当选取 $\beta$，使得这些奇点全在 $\mathrm{Res} < \beta$ 的范围内，且当 $s\rightarrow\infty$时，$F(s)\rightarrow 0$，则有

$$f(t) = \frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\beta-\mathrm i\infty}^{\beta+\mathrm i\infty}F(s)e^{st}\mathrm ds = \sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{s=s_k}[F(s)e^{st}]$$

补充，留数的计算公式为：

$$\mathrm{Res}[f(z),z_0] = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{\mathrm d^{m-1}}{\mathrm dz^{m-1}}\{(z-z_0)^mf(z)\}$$

补充：存在重根时的求解方法