信号与系统的时域和频域特性

6. 信号与系统的时域和频域特性

目录

• 6. 信号与系统的时域和频域特性
  • 6.1 傅里叶变换的模和相位表示
  • 6.2 线性时不变系统频率响应的模和相位表示
  • 6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性
  • 6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论
  • 6.5 一阶与二阶连续时间系统

---

6.1 傅里叶变换的模和相位表示

连续时间傅里叶变换$X(j\omega)$的模-相表示为

$$X(j\omega) = |X(j\omega)|e^{j\measuredangle X(j\omega)}$$

---

6.2 线性时不变系统频率响应的模和相位表示

$$Y(j\omega) = H(j\omega)X(j\omega)$$

所以

$$|Y(j\omega)| = |H(j\omega)||X(j\omega)|\\ \measuredangle Y(j\omega)= \measuredangle H(j\omega) + \measuredangle X(j\omega)$$

所以$|H(j\omega)|$一般称为系统的增益(gain)，$\measuredangle H(j\omega)$一般称为系统的时移(phase shift)。

6.2.1 线性与非线性相位

具有整数斜率的线性相位的系统所产生的输出就是输入的简单移位。

如果输入信号受到的是一个$\omega$的非线性函数的相移，那么在输入中各不同频率的复指数分量都将以某种方式移位，从而在它们的相对相位上发生变化。

6.2.2 群时延

如果系统对所有的频率分量都有相同的相位延时，那么信号经过该系统后，波形形状将之前完全相同，只是有一定的延时，但如果不同频率分量有不同的相位延时，那么信号经过该系统后将产生形变。

群时延(group delay)代表的就是某个频率及其周边频率的差异程度。

$$\tau(\omega) = -\frac d{d\omega}\{\measuredangle H(j\omega) \}$$

6.2.3 对数模和相位图

通过取对数的方式可以将两个模的相乘转换为两个对数模的相加。在一个对数标尺上展现傅里叶变换的模可以在一个较宽的动态范围内将细节显示出来。

一般所采用的对数标尺的单位：分贝。采用$20\log_{10}$为单位的称为分贝(decibels)，20dB就对应于10倍的增益，6dB就近似对应于2倍增益。

$20\log_{10}|H(j\omega)|$和$\measuredangle H(j\omega)$对于$\log_{10}(\omega)$的图称为伯德图(Bode)。

---

6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性

---

6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论

由于理想滤波器物理上是不可实现的，所以在滤波器的通带和阻带之间允许存在一个过渡带。

由于理想低通滤波器的阶跃响应问题，在连续时间和离散时间的两种情况下，在跳变点附近呈现过冲和振荡的现象。因此允许通带在单位增益上有某些偏离，称为通带起伏(passband ripple)（或波紋）。允许阻带在零增益上有某些偏离，称为阻带起伏(stopband ripple)（或波紋）。过渡带与通带之间的交界线称为通带边缘(passband edge)（或通帶頻率），过渡带与阻带之间的交界线称为阻带边缘(stopband edge)（或阻帶頻率）。

---

6.5 一阶与二阶连续时间系统

6.5.1 一阶连续时间系统

$$\tau\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)$$

相应的一节系统的频率响应为

$$H(j\omega) = \frac1{j\omega\tau + 1}\tag{6.22}$$

单位冲激响应

$$h(t) = \frac1\tau e^{-t/\tau}u(t)$$

参数$\tau$称为系统的时间常数，它控制着一阶系统响应的快慢。

系統的阶跃响应为

$$s(t) = h(t)*u(t) =[1-e^{-t/\tau}]u(t)$$

从表达式可知，所谓系统的阶跃响应，即系统的单位冲击响应与阶跃函数的卷积。

由式6.22知

$$20\log_{10}|H(j\omega)| = -10\log_{10}[( \omega\tau)^2+1]$$

则对于$\omega\tau<<1$，对数模拟近似等于零。对于$\omega\tau >> 1$，

$$\begin{aligned}20\log_{10}|H(j\omega)| &= -10\log_{10}[( \omega\tau)^2+1]\\ &=-20\log_{10}\omega - 20\log_{10}\tau \end{aligned}$$

对数模拟为$\log_{10}\omega$的线性函数。

当$\omega\tau = 1$时，称$\omega= 1/\tau$为转折频率(break frequency)，其实际值近似为-3dB。

可以看到时间和频率的相反关系。当$\tau$减小时，h(t)变得向原点压缩，加速了系统的时间响应，阶跃响应的上升时间就减少了；与此同时，转折频率($1/\tau$)升高，即$|H(j\omega)|\approx 1$的频率范围更宽。这点可以从时域和频域的系统响应的表达式可以看出。

一阶连续时间系统的近似伯德图

当$\omega\tau\ll1$时，对数模近似为0

$$20\log_{10}|H(j\omega)|\simeq0,\omega\ll1/\tau$$

对于$\omega\tau\gg1$，对数模近似为$\log_{10}(\omega)$的线性函数

$$20\log_{10}|H(j\omega)|\simeq-20\log_{10}(\omega)-20\log_{10}(\tau)$$

6.5.2 二阶连续时间系统

$$\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 2\zeta\omega_n\frac{dy(t)}{dt} + \omega_n^2y(t) = \omega_n^2x(t)$$

其代表的二阶系统的频率响应为

$$H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\zeta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}\tag{6.33}$$

将分母因式化后

$$H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega-c_1)(j\omega-c_2)}$$

其中

$$c_1 = -\zeta\omega_n + \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\\c_2 = -\zeta\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$$

式6.33还可以写成

$$H(j\omega) = \frac{1}{(j\omega/\omega_n)^2 + 2\zeta(j\omega/\omega_n) + 1}$$

所以$H(j\omega)$是关于$(\omega/\omega_n)$的函数

其中参数$\zeta$称为阻尼系数(damping ratio)，$\omega_n$称为无阻尼自然频率(undamped natural frequency)。

• 当$0<\zeta<1$，二阶系统的单位冲激响应就是一个衰减的振荡，这是系统是欠阻尼(underdamped)的；
• 当$\zeta>1$，单位冲激响应是两个衰减的指数之差，这时系统是过阻尼(overdamped)的；
• 当$\zeta = 1$，称系统为临界阻尼(critical damped)的。

二阶连续时间系统的近似伯德图

由式6.33可得

$$20\log_{10}|H(j\omega)| = -10\log_{10}\left\{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2 \right]^2 +4\zeta^2\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2\right\}$$

由此可以导出高、低频率的两条近似线为

$$20\log_{10}|H(j\omega)| \approx \begin{cases}\begin{aligned}&0, &\omega\ll\omega_n\\&-40\log_{10}\omega+40\log_{10}\omega_n,&\omega\gg\omega_n\end{aligned}\end{cases}$$