复级数

第4章 级数

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4.1 复数项级数与复变函数级数

4.1.1复数序列与复数项级数

定义：设\(\{z_n\}\)是一个复数序列，又设\(z_0 = a+ib\)为一复常数。如果对于任意\(\varepsilon > 0\)，存在正整数N，使得n>N时，总有\(|z_n-z_0|<\varepsilon\)成立，则称复数序列以\(z_0\)为极限，或者复数序列收敛于\(z_0\)。如果不收敛，则称其为发散序列。

定理：设\(z_n = a_n+ib_n,z_0 = a_0+ib_0\)，则收敛的充要条件为

\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a_0,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n = b_0 \]

定义：称

\[z_1 + z_2 +\cdots + z_n\tag{4.3} \]

为复数项级数

记前面n项的和为\(s_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n\)为级数式(4.3)的部分和。

若序列\(\{s_m\}\)没有极限，则称级数式(4.3)是发散的。

定理：级数式(4.3)收敛的必要条件是

\[\lim_{n\rightarrow \infty}z_n = 0 \]

定义：若级数\(\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\)收敛，则称级数\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\)绝对收敛。若级数\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n\)收敛而不绝对收敛，则称它为条件收敛。若一个级数式绝对收敛，则其必然收敛。反之不一定。

定理：\(\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n\)绝对收敛\(\Leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)与\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)绝对收敛

柯西收敛准则：级数式(4.3)收敛的充要条件为：任给\(\varepsilon>0\)，存在正整数N，使当m,n>N时，恒有

\[|z_m -z_n|<\varepsilon \]

定理：收敛级数的通项必趋于零：\(\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0\)，其等价命题为：若\(\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n\ne 0\)或\(\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n\)不存在，则级数发散。说明收敛级数的各项必是有界的。

比式判别法

设\(\sum u_n\)为正项级数，且存在某自然数\(N_0\)及常数q(0<q<1)

• 若对一切n > \(N_0\)，成立

  \[\frac{u_{n+1}}{u_n} \le q \]

  则级数收敛

• 若对一切n > \(N_0\)，成立

  \[\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 \]

  则级数发散

4.1.2 复函数项级数

定义：设复变函数项级数\(f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_n(z)\)的各项在点集E上均有定义，且在E上存在一个函数f(z)，对于E上的每一点z，级数式均收敛于f(z)，则称f(z)为级数式的和函数，记为：

\[f(z) = \sum_{n=1}^{\infty}f_n(z) \]

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4.2 幂级数

定义：称形式为

\[\sum^{\infty}_{n=0}C_n(z-a)^n = C_0 + C_1(z-a) +\cdots + C_n(z-a)^n \]

的级数是中心在a的幂级数，称\(C_n\)为幂级数的系数。

阿贝尔定理：如果幂级数\(\sum^{\infty}_{n=0}C_nz^n\)在\(z=z_0(\ne 0)\)收敛，那么当\(|z| < |z_0|\)时幂级数绝对收敛；如果在\(z=z_1\)处发散，那么当\(|z| = |z_1|\)时幂级数发散。

幂级数的收敛半径的求法

如果幂级数的系数\(c_n\)合于

• 比值法\(\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right| = l\)
• 根值法\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|c_n|} = l\)

则收敛半径为

\[R = \begin{cases}\frac1l,(l\ne 0,l\ne\infty)\\0,(l=+\infty)\\+\infty,(l=0)\end{cases} \]

例题：把函数1/z表成形如\(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-2)^n\)的幂级数。

提示：利用一个常见的泰勒展开

\[\frac1{1-z} = 1 + z + z^2 + \cdots + z^n,|z|<1 \]

和函数的求法：

• 积分法：对级数式进行不定积分，可得一个更加容易求和函数的级数式，求得和函数后，再进行求导可得原和函数。

  如\(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n\)的和函数

• 构造新和函数法：当系数\(c_n\)与\(z_n\)的次数一致时，可以将系数包含进\(z_n\)构造一个新的级数式来求和函数。

  如：\(\sum_{n=0}^{\infty}2^nz^{n-1} = 2\sum_{n=0}^{\infty}(2z)^{n-1}\)

复变幂级数在收敛圆内部的性质

• 幂级数的和\(f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n\)在收敛圆的内部是一个解析函数
• 在收敛圆的内部，幂级数的和可以逐项求导及逐项积分任意次