复级数

第4章 级数

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4.1 复数项级数与复变函数级数

4.1.1复数序列与复数项级数

定义：设$\{z_n\}$是一个复数序列，又设$z_0 = a+ib$为一复常数。如果对于任意$\varepsilon > 0$，存在正整数N，使得n>N时，总有$|z_n-z_0|<\varepsilon$成立，则称复数序列以$z_0$为极限，或者复数序列收敛于$z_0$。如果不收敛，则称其为发散序列。

定理：设$z_n = a_n+ib_n,z_0 = a_0+ib_0$，则收敛的充要条件为

$$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a_0,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n = b_0$$

定义：称

$$z_1 + z_2 +\cdots + z_n\tag{4.3}$$

为复数项级数

记前面n项的和为$s_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n$为级数式(4.3)的部分和。

若序列$\{s_m\}$没有极限，则称级数式(4.3)是发散的。

定理：级数式(4.3)收敛的必要条件是

$$\lim_{n\rightarrow \infty}z_n = 0$$

定义：若级数$\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|$收敛，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}z_n$绝对收敛。若级数$\sum_{n=1}^{\infty}z_n$收敛而不绝对收敛，则称它为条件收敛。若一个级数式绝对收敛，则其必然收敛。反之不一定。

定理：$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$绝对收敛$\Leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$绝对收敛

柯西收敛准则：级数式(4.3)收敛的充要条件为：任给$\varepsilon>0$，存在正整数N，使当m,n>N时，恒有

$$|z_m -z_n|<\varepsilon$$

定理：收敛级数的通项必趋于零：$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$，其等价命题为：若$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n\ne 0$或$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n$不存在，则级数发散。说明收敛级数的各项必是有界的。

比式判别法

设$\sum u_n$为正项级数，且存在某自然数$N_0$及常数q(0<q<1)

• 若对一切n > $N_0$，成立

  $$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le q$$

  则级数收敛

• 若对一切n > $N_0$，成立

  $$\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$$

  则级数发散

4.1.2 复函数项级数

定义：设复变函数项级数$f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_n(z)$的各项在点集E上均有定义，且在E上存在一个函数f(z)，对于E上的每一点z，级数式均收敛于f(z)，则称f(z)为级数式的和函数，记为：

$$f(z) = \sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)$$

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4.2 幂级数

定义：称形式为

$$\sum^{\infty}_{n=0}C_n(z-a)^n = C_0 + C_1(z-a) +\cdots + C_n(z-a)^n$$

的级数是中心在a的幂级数，称$C_n$为幂级数的系数。

阿贝尔定理：如果幂级数$\sum^{\infty}_{n=0}C_nz^n$在$z=z_0(\ne 0)$收敛，那么当$|z| < |z_0|$时幂级数绝对收敛；如果在$z=z_1$处发散，那么当$|z| = |z_1|$时幂级数发散。

幂级数的收敛半径的求法

如果幂级数的系数$c_n$合于

• 比值法$\lim_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right| = l$
• 根值法$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|c_n|} = l$

则收敛半径为

$$R = \begin{cases}\frac1l,(l\ne 0,l\ne\infty)\\0,(l=+\infty)\\+\infty,(l=0)\end{cases}$$

例题：把函数1/z表成形如$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-2)^n$的幂级数。

提示：利用一个常见的泰勒展开

$$\frac1{1-z} = 1 + z + z^2 + \cdots + z^n,|z|<1$$

和函数的求法：

• 积分法：对级数式进行不定积分，可得一个更加容易求和函数的级数式，求得和函数后，再进行求导可得原和函数。

  如$\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n$的和函数

• 构造新和函数法：当系数$c_n$与$z_n$的次数一致时，可以将系数包含进$z_n$构造一个新的级数式来求和函数。

  如：$\sum_{n=0}^{\infty}2^nz^{n-1} = 2\sum_{n=0}^{\infty}(2z)^{n-1}$

复变幂级数在收敛圆内部的性质

• 幂级数的和$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n$在收敛圆的内部是一个解析函数
• 在收敛圆的内部，幂级数的和可以逐项求导及逐项积分任意次