连续时间傅里叶变换

連續時間傅裡葉變換(Continuous Time Fourier Transform)

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引言

傅裡葉變換試圖將非週期信號也納入到傅裡葉的體系中。對於非週期信號，可以看成是週期無限長的週期信號。當週期無限大時，傅裡葉級數的頻率分量就變成了一個連續域。

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非週期信號的表示：連續時間傅裡葉變換

首先以週期方波為例，即在一個週期內

$$x(t) = \begin{cases}1, |t| < T_1\\0,T_1 < |t| < T/2 \end{cases}$$

若將其表示為傅裡葉級數，其傅裡葉級數的係數為

$$a_k = \frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T}$$

將其在頻域圖上畫出來，並逐漸增大週期T就可以得到下圖

可想而知，隨著T的增大，頻率越來越小，包絡線裡面的頻率越來越密集，最終形成一條連續的曲線。傅裡葉變換的工作就是要求出這條曲線，從而完成信號從時域到頻域的轉換。這就是對非週期信號建立傅裡葉級數表示的基本思想。

將$\tilde{x}(t)$看作是$x(t)$的一個週期，由於傅裡葉的級數表示是在一個週期內推出來的，所以對於非週期信號的一個週期，也有

$$\tilde{x}(t) = \sum^{+\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\omega_0t}\tag{式1} \\a_k = \frac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\tilde{x}(t)e^{-jk\omega_0 t}dt$$

由於非週期信號可以看成只有一個週期的信號，所以在週期之外，即$|t| > T/2$時，$x(t) = 0$，而在週期之內，$\tilde{x}(t) = x(t)$，則有

$$a_k = \frac1T\int_{k = -\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$$

則可以得到

$$X(j\omega) = Ta_k = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$$

稱$X(j\omega)$為$Ta_k$的包絡。

再將$a_k = \frac{X(j\omega)}{T}$代入式1得

$$\tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac1TX(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} = \frac1{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0$$

當$T\rightarrow \infty$時，$\tilde{x}(t)\rightarrow x(t),\omega_0\rightarrow 0$，因此$\omega_0$可以看作一個微分，而右端式子可以看作一個積分式。則有

$$x(t) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(j\omega_)e^{j\omega t}d\omega\tag{式4.8}$$

而

$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\tag{式4.9}$$

這兩式即稱為一對傅裡葉變換對。式4.9是將信號從時域變換到頻域，稱為時域信號的傅裡葉變換。式4.8則是從頻域變為時域，稱為頻域信號的傅裡葉逆變換。

在時域圖上，橫軸是時間t，縱軸則是由該時刻所有基本信號的線性組合。在頻域圖上，橫軸是頻率$\omega$，縱軸則是某一頻率的基本信號的係數$a_k$。

可以看出，傅裡葉變換與週期信號的傅裡葉級數表示的結構還是很類似的。

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傅裡葉變換的收斂

現研究用式4.8表示的$x(t)$和信號與實際的$x(t)$信號之間的誤差。用$\hat{x}(t)$表示式4.8為

$$\hat x(t) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(j\omega_)e^{j\omega t}d\omega$$

如果$x(t)$能量有限，即

$$\int^{+\infty}_{-\infty}|x(t)|^2dt < \infty$$

則可以保證$X(j\omega)$是收斂的。

令$e(t) = \hat{x}(t) - x(t)$,則

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|e(t)|^2dt = 0$$

如果$x(t)$能量有限，那麼雖然$x(t)$與它的傅裡葉表示$\hat x(t)$在個別點上有明顯的區別，但是在能量上沒有任何區別

狄利赫利條件，這組條件保證$\hat x(t)$除了個別不連續點外，其它點上都等於$x(t)$。

• $x(t)$絕對可積

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt < \infty$$

• 在任何有限個區間內，x(t)只有有限個最大值和最小值

• 在任何有限區間內，x(t)有有限個不連續點，並且在每個不連續點的值都是有限的。

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週期信號的傅裡葉變換

週期信號的傅裡葉變換可以由週期信號的傅裡葉級數表示構造。

首先構造一個信號$x(t)$，其傅裡葉變換$X(j\omega)$是一個面積為$2\pi$，頻率為$\omega_0$的單位衝激。即

$$X(j\omega) = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$$

則此時信號$x(t)$可以看成一個非週期信號，則利用非週期信號的傅裡葉變換得

$$\begin{aligned}x(t) &= \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega - \omega_0)e^{j\omega t}d\omega\\ &= e^{j\omega_0t} \end{aligned}$$

現在將$X(j\omega)$看成一組這樣的基本信號的線性組合

$$X(j\omega) = \sum^{+\infty}_{k = -\infty}2\pi a_k\delta(\omega - k\omega_0)$$

則有

$$x(t) = \sum^{+\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$$

上式正是一個週期信號的傅裡葉級數表示。

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连续时间傅里叶变换性质

线性性质

$$ax(t) + by(t) \stackrel{F}{\longleftrightarrow} aX(j\omega) + bX(j\omega)$$

时移性质

$$x(t-t_0) \stackrel{F}{\longleftrightarrow}e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$$

信号的时移不改变傅里叶变换的模

共轭和共轭对称性

共轭性质，若

$$x(t) \stackrel{F}{\longleftrightarrow}X(j\omega)$$

则

$$x^*(t)\stackrel{F}{\longleftrightarrow}X^*(-j\omega)$$

若x(t)为实函数，则$X(j\omega)$具有共轭对称性

$$X(-j\omega) = X^*(j\omega)$$

若x(t)为实偶函数，则$X(j\omega)$也未实偶函数。若x(t)为实奇函数，则$X(j\omega)$为纯虚奇函数。

微分和积分

$$\frac{dx(t)}{dt}\stackrel{F}{\longleftrightarrow} j\omega X(j\omega)\\ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \stackrel{F}{\longleftrightarrow} \frac1{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)$$

时间与频率的尺度变换

$$x(at)\stackrel{F}{\longleftrightarrow} \frac1{|a|}X(\frac{j\omega}{a})$$

这里a是一个实常数

对偶性

$$x_1(t) = \begin{cases}1,|t|<T_1\\0,|t| > T_1 \end{cases} \stackrel{F}{\longleftrightarrow} X_1(j\omega) = \frac{2sin\omega T_1}{\omega}\\ x_2(t) = \frac{sinWt}{\pi t}\stackrel{F}{\longleftrightarrow}X_2(j\omega) = \begin{cases}1,|\omega|<W\\0,|\omega|>W \end{cases}$$

信号的傅里叶变换和逆变换总有结构上的类似。

例如对于积分性质就可以导出对偶性质为

$$-\frac1{jt}x(t) + \pi x(0)\delta(t) \stackrel{F}{\longleftrightarrow} \int^\omega_{-\infty}x(\eta)d\eta$$

帕斯瓦尔定理

$$\begin{aligned}\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt &= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot x^*(t)dt\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\left[\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X^*(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega \right]dt\\&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X^*(j\omega)\left[\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \right]d\omega\\&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X^*(j\omega)X(j\omega)d\omega\\&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega\end{aligned}$$

表明一个周期信号的平均功率等于它的各次谐波分量的平均功率之和，而这些谐波分量的平均功率等于傅里叶级数系数的模的平方。

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卷积性质

首先温习一下特征函数的定义：一个信号，若系统对于信号的响应仅仅是一个常数乘以输入，那么这个信号称为系统的特征函数，而这个常数称为特征值。

线性时不变系统的系统函数是复指数信号，若系统的单位冲激响应为h(t)，则对于复指数信号$e^{st}$，系统响应

$$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau\\=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$$

所以特征值

$$H(s) =\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$$

当$s = j\omega$时，系统函数就称为该系统的频率响应，可以把频率响应$H(j\omega)$当做该系统单位冲激响应的傅里叶变换。则由叠加原理：

$$\frac1{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 t}\omega_0\longrightarrow \frac1{2\pi}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}X(jk\omega_0)H(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0$$

所以线性系统对x(t)的响应为

$$y(t) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

其傅里叶变换

$$Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega)$$

总结

$$y(t) = x(t)*h(t) \stackrel{F}{\longleftrightarrow}Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega)$$

单位冲激响应的傅里叶变换$H(j\omega)$控制着每一个频率的输入傅里叶变换复振幅的变化。

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相乘性质

卷积性质说的是时域内的卷积对应于频域内的相乘。根据对偶性，我们也可以找到一个时域内的相乘对应频域内的卷积的性质

即

$$r(t) = s(t)p(t)\longleftrightarrow R(j\omega) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(j\theta)P(j(\omega-\theta))d\theta$$

一个信号与另一个信号相乘，可以理解为一个信号调制另一个信号的振幅，所以上式有时称为调制性质(modulation property)

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System Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations

一类特别重要的连续时间线性时不变系统是输入输出满足如下形式的系统：

$$\sum^{N}_{k=0}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k} = \sum^M_{k=0}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}$$

两边取傅里叶变换并利用线性性质得：

$$\sum^N_{k=0}a_kF\left\{\frac{d^ky(t)}{dt^k} \right\} = \sum^M_{k=0}b_kF\left\{\frac{d^kx(t)}{dt^k} \right\}$$

利用微分性质得

$$\sum^N_{k=0}a_k(j\omega)^kY(j\omega) = \sum^M_{k=0}b_k(j\omega)^kX(j\omega)$$

所以有

$$H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} = \frac{\sum^M_{k=0}b_k(j\omega)^k}{\sum^N_{k=0}a_k(j\omega)^k}$$