周期信号的傅里叶级数表示

週期信號的傅裡葉級數表示

如果一個線性時不變系統的輸入可以表示為週期復指數或正弦信號的線性組合，則輸出也一定能表示成這種形式；並且輸出線性組合中的加權係數直接與輸入中對應的係數有關。

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線性時不變系統對復指數信號的響應

在研究線性時不變系統時，常常將信號表示成一些基本信號的線性組合。這些基本信號既能構成相當廣泛的一類信號，系統對於每個信號的響應又非常簡單。

連續時間的$e^{st}$和離散時間的$z^n$信號都有這一特點，s和z均為複數。

復指數信號的重要性在於，一個線性時不變系統對於復指數信號的響應也是同樣一個復指數信號，不同的是幅度上的變化。

$$連續時間：\quad e^{st}\rightarrow H(s)e^{st}\\ 離散時間：\quad z^n\rightarrow H(z)z^n$$

以連續時間為例，若要求系統輸出，則對單位衝激響應h(t)和x(t)進行卷積積分得

$$\begin{aligned}y(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau\\&= e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-\tau}d\tau\end{aligned}$$

所以$H(s) = \int^{+\infty}_{-\infty}h(t)e^{-t}dt$

若系統對某個信號的響應就是某個常數(可能是複數)乘以輸入，則稱這個信號為系統的特征函數(eigenfunction)，這個常數就稱為系統的特征值(eigenvalue)。

復指數便是線性時不變系統的特征函數。

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連續時間週期信號的傅裡葉級數表示

1. 成諧波關係的復指數信號的線性組合

   基波頻率：對於最小正週期T，$\omega_0 = 2\pi/T$就稱為基波頻率。

   對於週期復指數信號：$x(t) = e^{j\omega_0t}$，與之成諧波關係(harmonically related)的信號集為：

   $$\phi_k(t) = e^{jk\omega_0t}, k=0,\pm1,\pm2,\cdots$$

   對於|k|相同的兩個信號合在一起稱為基波分量(fundamental component)，或者k次諧波分量(kth harmonic component).

   將一個信號用這些波表示出來就是：

   $$x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}\tag{式3.5}$$

   這稱為信號的傅裡葉級數表示。

2. 傅裡葉級數表示的另一種形式

   將上面的求和式重新寫為：

   $$x(t) = a_0 + \sum^{+\infty}_{k = 1}[a_ke^{jk\omega_0t} + a_{-k}e^{-jk\omega_0t}]$$

   因為$a_k = a_{-k}$，所以中括號裡面的兩個複數共軛，則化為：

   $$x(t) = a_0 + \sum^{+\infty}_{k=1}2Re\{a_ke^{jk\omega_0t}\}$$

   將$a_k$分別用極坐標和笛卡爾坐標形式表示可以得到另一種形式，在此不做贅述。

3. 傅裡葉級數表示的確定

   儘管我們知道了一個信號可以用傅裡葉級數表示，但是級數中$a_k$具體的值我們還沒有確定。

   對於式3.5，同乘一個值

   $$\begin{aligned}x(t)e^{-jn\omega_0t} &= \sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}\end{aligned}$$

   0到T積分得：

   $$\begin{aligned}\int^T_0x(t)e^{-jn\omega_0t} &= \int^T_0\sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}\\&=\sum^{+\infty}_{k = -\infty}\int^T_0a_ke^{jk\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}\\&=\sum^{+\infty}_{k = -\infty}a_k(\int^T_0cos(k-n)\omega_0tdt + j\int^T_0sin(k-n)\omega_0tdt) \end{aligned}$$

   當$k\neq n$時，兩個積分在T的週期內都為0。所以式右邊就化為了$Ta_n$。

   所以

   $$a_n = \frac 1T\int^T_0x(t)e^{-jn\omega_0t}$$

   這些係數就稱為x(t)的傅裡葉級係數(Fourier series coefficients)或者頻譜係數(spectral coefficients)。

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傅裡葉級數的收斂

若用有限級數$x_N(t)$來近似x(t):

$$x_N(t) = \sum^{+N}_{k = -N}a_ke^{jk\omega_0t}$$

令$e_N(t)$為近似誤差：

$$e_N(t) = x(t) - x_N(t)$$

為了讓近似誤差最小，可以證明(證明過程略)$a_k$的選取就是信號響應的傅裡葉級數。

所以：如果x(t)能展開成傅裡葉級數，那麼將這個無窮級數從某一項處截斷，就是僅用成諧波關係的有限項復指數來近似x(t)。

當x(t)在一個週期內有有限的能量時就能保證收斂。

狄利赫利條件

• 在任何週期內，x(t)必須滿足:

  $$\int_T|x(t)|dt < \infty$$

• 在任意個有限區間內，x(t)具有有限個起伏變化，即最大值和最小值的數目有限。

  如$x(t) = sin(\frac{2\pi}{t})$就不滿足。

• 在一個週期內，只有有限個不連續點，而且在這些不連續點上，函數值是有限的。

吉伯斯現象

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。

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連續時間傅裡葉級數性質

1. 線性性質

   x(t)和y(t)為兩個週期均為T的週期信號，且

   $$x(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow}a_k\\ y(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow}b_k$$

   則對於這兩個信號的線性組合z(t)有

   $$z(t) = Ax(t) + By(t)\stackrel{FS}{\longleftrightarrow}c_k = Aa_k+Bb_k$$

2. 時移性質

   信號x(t)以某個$t_0$時移時，得到的信號$y(t) = x(t -t_0)$的傅裡葉級數可以表示為：

   $$b_k = \frac1T\int_Tx(t-t_0)e^{-jk\omega_0t}dt$$

   令$\tau = t-t_0$，則有

   $$\begin{aligned}b_k &= \frac1T\int_Tx(\tau)e^{-jk\omega_0(\tau+t_0)}dt\\&=e^{-jk\omega_0t_0}\frac1T\int_Tx(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}d\tau\\&=e^{-jk\omega_0t_0}a_k \end{aligned}$$

   所以

   $$x(t-t_0)\stackrel{FS}{\longleftrightarrow}e^{-jk\omega_0t_0}a_k$$

3. 時間反轉

   $$x(-t)\stackrel{FS}{\longleftrightarrow}a_{-k}$$

   所以施加於連續時間信號的時間反轉會導致其對應的傅裡葉級數的時間反轉。

4. 時域尺度變換

   時域尺度變換是一種會改變信號週期的運算。

   $$x(\alpha t) = \sum^{+\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\alpha\omega_0t}$$

5. 相乘

   還是上面兩個信號，兩者的乘積的週期還是為T。

   $$x(t)y(t)\stackrel{FS}{\longleftrightarrow}h_k = \sum_{l = -\infty}^{\infty}a_lb_{k-l}$$

6. 共軛及共軛對稱

   將一個週期信號x(t)取它的複數共軛，在它的傅裡葉級數係數上就會有複數共軛並進行時間反轉的結果。即若

   $$x(t)\stackrel{FS}{\longleftrightarrow}a_k$$

   則有

   $$x^*(t)\stackrel{FS}{\longleftrightarrow}a^*_{-k}$$

   證明：將

   $$x(t) = \sum^{+\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$$

   的兩邊取共軛得：

   $$\begin{aligned}x^*(t) &= \sum^{+\infty}_{k = -\infty}a_k^*e^{-jk\omega_0t} (令m = -k)\\ &=\sum^{+\infty}_{m = -\infty}a^*_{-m}e^{jm\omega_0t} \end{aligned}$$

   對於實數信號有：$a_k = a^*_{-k}$，這時稱傅裡葉級數系列是共軛對稱(conjugate symmetric)。

   如果x(t)為實偶函數，則其傅裡葉級數係數也為實偶函數。

   如果x(t)為實奇函數，則其傅裡葉級數係數為純虛奇函數。

7. 連續時間週期信號的Parseval定理

   連續時間週期信號的帕斯瓦爾定理為

   $$\frac1T\int_T|x(t)|^2dt = \sum^{+\infty}_{k = -\infty}|a_k|^2$$

   說明一個週期信號的平均功率就等於它的所有的諧波分量的平均功率之和。

   130頁的表3.1需要銘記。

8. 連續時間信號的微分和積分性質

   對於式3.5，兩邊對時間t求導得

   $$\frac{dx(t)}{dt} = \sum^{\infty}_{k=-\infty}jk\omega_0a_ke^{jk\omega_0t} \Rightarrow \frac{dx(t)}{dt} \stackrel{FS}{\Longleftrightarrow}jk\omega_0a_k$$

   同理對兩邊進行t的積分得

   $$\int_{-\infty}^t x(t)dt = \sum^{\infty}_{k=-\infty}\frac{1}{jk\omega_0}a_ke^{jk\omega_0t} \Rightarrow \int_{-\infty}^tx(t)dt \stackrel{FS}{\longleftrightarrow}\frac{1}{jk\omega_0}a_k$$

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離散時間週期信號的傅裡葉級數表示

一個離散時間週期信號的傅裡葉級數是一個有窮項級數，而連續時間信號的傅裡葉級數是無窮項級數。

之所以這麼說是因為之前提過，對於一個週期為N的離散時間信號集，最多只有N個信號是不同的，響應的傅裡葉級數也只有N個。而連續時間信號因為可以看做無限可微分，所以有無限多個不同的信號。

1. 成諧波關係的復指數信號的線性組合

   離散時間信號的基礎信號為：

   $$\phi_k[n] = e^{jk\omega_0n},\quad k = 0,\pm1,\pm2,...$$

   可以利用這個信號的線性組合來表示更加一般的離散時間信號

   $$x[n] = \sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0n} = \sum_{k=<N>}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}$$

   $k=<N>$表示不管初始的k取哪個值，只要向後連續取N個k值求和，所得的結果都是一樣的，因為離散時間信號集只有N個信號是不同的。

2. 離散時間信號傅裡葉級數係數的確定

   首先可以證明

   $$\sum_{n=<N>}e^{jk\frac{2\pi}{N}n} = \begin{cases} N, k=0,\pm N,\pm N,...\\0,其他\end{cases}$$

   上式兩段同乘$e^{-jr\frac{2\pi}{N}n}$得

   $$\begin{aligned}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jr(2\pi/N)n} &= \sum_{n=<N>}\sum_{k=<N>}a_ke^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}\\ &=\sum_{k=<N>}a_k\sum_{n=<N>}e^{j(k-r)\frac{2\pi}{N}n}\\ &= Na_r \end{aligned}\\ a_r = \frac1N\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jr(2\pi/N)n}$$

   離散時間實信號同樣是共軛對稱的。

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離散時間信號的性質

記住140頁的表3.2就夠了，很多都與連續時間信號的性質類似，講講不相似的。

1. 差分

   離散週期信號沒有連續信號中的微分的性質，而有差分的性質。

   $$x[n] - x[n-1] \stackrel{FD}{\longleftrightarrow} (1 - e^{jk\omega_0})a_k$$

2. 時域內插

   對於以N為週期的x[n]，有

   $$x_m[n] = \begin{cases} x(n/m), n =rm\\0\quad \quad \quad ,n\neq rm\end{cases}(r為整數)$$

   這個變換相當於在x[n]的一個週期內每個信號之間插入若干的0。

   $$x_m[n] \stackrel{FS}{\longleftrightarrow}h_k\\ h_k = \frac1ma_k$$

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傅裡葉級數與線性時不變系統

在連續時間情況下，若$x(t) = e^{st}$是一個線性時不變系統的輸入，則其輸出為$y(t) = H(s)e^{st}$，$H(s)$定義為

$$H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$$

當s為一般複數時，$H(s)$稱為該系統的系統函數(system function)。當$s =j\omega$時，系統函數就稱為該系統的頻率響應(frequency response)。

利用的系統的頻率響應來表示一個線性時不變系統對於$e^{j\omega t}$這種形式的復指數信號的響應是非常簡單的，因此系統對於復指數信號的線性組合可以利用響應的疊加性質來表示。

對於一個一般的週期信號，其傅裡葉級數表示為

$$x(t) = \sum^{+\infty}_{k = -\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$$

則系統的輸出可以表示為對每個復指數信號響應的線性疊加

$$y(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_kH(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$$

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濾波

改變一個信號中各頻率分量的相對大小，或者全部消除某些頻率分量的過程稱為濾波。

常見的濾波器有微分濾波器和差分濾波器

微分濾波器可以用來放大信號中快速變化的部分。微分濾波器在圖像處理中常用來增晰圖標的邊緣，因為在圖像的邊緣常常是顏色和亮度快速變換的區域，因此微分放大器可以凸顯這些變換。