正弦、余弦和正切

https://www.shuxuele.com/sine-cosine-tangent.html

直角三角形

正弦、余弦和正切是 三角法 里的主要函数，它们是基于一个 直角三角形而建立的。

在探索这些函数之前，我们先给三角形的每条边一个名字： 

• "对边" 是在角 θ 的对面
• "邻边" 是在角 θ 的旁边
• "斜边" 是长的一边

邻边 是在角的旁边

对边 是在角的对面

正弦、余弦和正切

正弦 （sine）, 余弦 （cosine） 和 正切 （tangent） （英语符号简写为 sin, cos 和 tan) 是 直角三角形 边长的比：

对一个特定的角 θ 来说，不论三角形的大小， 
这三个比是不变的

计算方法：

用一条边的长度除以另一条边的长度

例子： 35°的正弦是多少？

用这三角形来算 （长度精确到一位小数）：

sin(35°)	= 对边 / 斜边
	= 2.8 / 4.9
	= 0.57...
cos(35°)	= 邻边 / 斜边
	= 4.0 / 4.9
	= 0.82……
tan(35°)	= 对边 / 邻边
	= 2.8 / 4.0
	= 0.70……

好的计算器都会有 sin, cos 和 tan 的键，方便计算。你只需输入角度然后按键。

可是你还是要记得它们的意思！

用图来显示：

在这里练习

Sohcahtoa

怎样去记住？ 想想，用这个怪怪的英文单词 "Sohcahtoa"！

像这样：

Soh...	Sine = Opposite （对边） / Hypotenuse （斜边）
...cah...	Cosine = Adjacent （邻边） / Hypotenuse （斜边）
...toa	Tangent = Opposite （对边） / Adjacent （邻边）

去这页 sohcahtoa 了解更多。。。。。。 记住它，考试时会有用！

试试看！

试 试 看！ 移动鼠标，不同的角（以弧度或度数为单位）对 正弦、余弦和正切的影响。

在这个动画里，斜边是 1，圆形是 单位圆。

请注意邻边和对边可以是负值，导致正弦、余弦和正切的值也可正可负。

 

例子

例子： 30° 的正弦、余弦和正切是什么？

传统的 30° 三角形的 斜边为 2、对边为 1 和邻边为 √3:

知道边长，便可以计算函数的值：

正弦		sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
余弦		cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866...
正切		tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577...

（用计算器来检查答案！）

例子： 45° 的正弦、余弦和正切是什么？

传统的 45° 三角形有两条边长为 1，斜边为 √2:

正弦		sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707...
余弦		cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707...
正切		tan(45°) = 1 / 1 = 1

为什么？

为什么这些函数重要？

• 因为当我们知道边长时，我们可以用它们来计算角度
• 同时，当我们知道角度时，我们也可以用它们来计算边长

例子： 用 正弦函数 来计算 "d"

我们知道：

• 电缆与海底成 39° 的角
• 电缆长度为 30 米。

我们求 "d" （垂直向下距离）。

这样开始：		sin 39° = 对边/斜边
		sin 39° = d/30
两边互换：		d/30 = sin 39°
用计算器来求 sin 39°:		d/30 = 0.6293…
两边乘以 30：		d = 0.6293… x 30
		d = 18.88 计算结果保留两位小数。

 

深度 "d" 是 18.88 m

习题

试试这个 纸上习题。计算 从 0° 到 360° 所有角的正弦，然后画个图表。这会帮助你了解这个相当简单的函数。

你也可以去 正弦、余弦和正切的图形看看。

不常见的函数

还有三个函数也是把一边除以另一边，不过我们不常用它们。

它们等于 1 除以 余弦、1 除以 正弦 和 1 除以 正切：

正割 函数：		sec(θ) = 斜边 / 邻边		(=1/cos)
余割 函数：		csc(θ) = 斜边 / 对边		(=1/sin)
余切 函数：		cot(θ) = 邻边 / 对边		(=1/tan)