#【数学】【基础知识】【矩阵】

矩阵，是高等数学的重要一部分，在实际生活应用中也常常会有涉及，今天将矩阵相关的知识复习一下：

 

矩阵的一些特性：

对于n*n矩阵，

主对角线为左上到右下

副对角线为左下到右上

 

一些特殊矩阵：

稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

还有近角矩阵

 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。

无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵

 

矩阵的运算：

矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置

 

矩阵的加法：（只有同型矩阵之间才可以进行加法）

 Python代码实现：

#!/usr/bin/python
# encoding=utf-8
# -*- coding: UTF-8 -*-

# 两个三行三列矩阵求和，如下：
# 6  5  8        7  5  1
# 4  1  9        8  2  2
# 7  1  2        9  1  7

#求两个矩阵之和

l1 = [[6,5,8],[4,1,9],[7,1,2]]
l2 = [[7,5,1],[8,2,2],[9,1,7]]
l3 = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]

for i in range(3):
    for j in range(3):
        l3[i][j] = l1[i][j] + l2[i][j]
        
        
print(l3)

输出结果：

　　

 

 

 

 

矩阵的减法：（是否应只有同型矩阵之间才可以进行加法？）

 

 

矩阵的数乘：

 

 

　　矩阵的数乘满足以下规律：

　　

 

 　　

 

 　　

 

 　　

 

 矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算

矩阵的转置：

　　把矩阵A的 行和列互相交换 所产生的矩阵称为A的转置矩阵 ，这一过程称为矩阵的转置

 

　　

 

 

　　矩阵的转置满足以下运算律：

　　

　　

　　

 

矩阵的共轭：

　　矩阵的共轭定义为:  .一个2×2复数矩阵的共轭（实部不变，虚部取负），如下：

　　　

 

 　　则：

　　

 

 

矩阵的共轭转置：

　　矩阵的共轭转置定义为：   ，也可以写为：    或者写为    。一个2×2复数矩阵的共轭转置如下所示：

 　　 

 

 　　则：

　　 

 

 　　（先将矩阵共轭，再转置；）

 

矩阵的乘法：

　　两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵  ，它的一个元素：

　　　　

 

 

　　并将此乘积记为:  

　　

　　例如：

　　　　

 

　　m*n矩阵和n*p矩阵，相乘得到的是n*n矩阵。

 

　　矩阵的乘法满足以下运算律：

　　结合律：

　　　　

　　左分配律：

　　　　

　　右分配律：

　　　　

　　矩阵乘法不满足交换律。

 

　　【乘法的三大规律：交换律、结合律、分配率】

 

 

 

 

 

矩阵的行列式：

 

 

矩阵的一个特征值和对应的特征向量：

 

 

矩阵的迹：

　　对于一个n*n矩阵的对角元素之和称为矩阵A的迹(trace),记作 , 即

　　 

　　（是否可以理解为矩阵的迹就是矩阵的主对角线的值之和？）

 

矩阵的正定性：

　　

　　

　　

　　

　　

矩阵的分解：

　　矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 [14]  ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

　　

　　矩阵的三角分解：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　　　

　　

特殊类别：

　　　　

　　

　　

　　

　　

矩阵的范数：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

矩阵的应用：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

 

 

————————（我是分割线）————————

参考：

1. 百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5/18069?fr=aladdin

 

 

备注：

初次编辑时间：2019年10月6日14:49:40

第1次修改时间：2019年10月6日15:17:58   /添加矩阵加法 Python代码

环境：Windows 7 

（部分知识点过于庞杂，一时无时间集中复习，待后续重新整理；）