Nim游戏----博弈论
补充知识
1.Mex运算:
设S表示一个非负整数集合.定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数运算,即:
mes(S)=min{x};
例如:S={0,1,2,4},那么mes(S)=3;
2.SG函数
在有向图游戏中,对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边,分别到达节点y1,y2,····yk,定义SG(x)的后记节点y1,y2,····
yk的SG函数值构成的集合在执行mex运算的结果,即:
SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2)····SG(yk)})
特别地,整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值,即 SG(G)=SG(s).
3.有向图游戏的和
设G1，G2,····,Gm是m个有向图游戏.定义有向图游戏G,他的行动规则是任选某个有向图游戏Gi,并在Gi上行动一步.G被称为有向图游戏G1,G2,·····,Gm的和.
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数的异或和,即:
SG(G)=SG(G1)xorSG(G2)xor···xor SG(Gm)
4.必胜状态和必败状态
必胜状态，先手进行某一个操作，留给后手是一个必败状态时，对于先手来说是一个必胜状态。即先手可以走到某一个必败状态。
必败状态，先手无论如何操作，留给后手都是一个必胜状态时，对于先手来说是一个必败状态。即先手走不到任何一个必败状态。
普通Nim游戏
题目描述
给定nn堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
例如：有两堆石子，第一堆有2个，第二堆有3个，先手必胜。
操作步骤：
- 先手从第二堆拿走1个，此时第一堆和第二堆数目相同
- 无论后手怎么拿，先手都在另外一堆石子中取走相同数量的石子即可。
结论
假设nn堆石子，石子数目分别是a1,a2,…,ana1,a2,…,an，如果a1⊕a2⊕…⊕an≠0a1⊕a2⊕…⊕an≠0，先手必胜；否则先手必败。
详解
- 如果先手面对的局面是a1⊕a2⊕…⊕an≠0a1⊕a2⊕…⊕an≠0，那么先手总可以通过拿走某一堆若干个石子，将局面变成a1⊕a2⊕…⊕an=0a1⊕a2⊕…⊕an=0。如此重复，最后一定是后手面临最终没有石子可拿的状态。先手必胜。
- 如果先手面对的局面是a1⊕a2⊕…⊕an=0a1⊕a2⊕…⊕an=0，那么无论先手怎么拿，都会将局面变成a1⊕a2⊕…⊕an≠0a1⊕a2⊕…⊕an≠0，那么后手总可以通过拿走某一堆若干个石子，将局面变成a1⊕a2⊕…⊕an=0a1⊕a2⊕…⊕an=0。如此重复，最后一定是先手面临最终没有石子可拿的状态，先手必败。
台阶Nim游戏
问题描述
现在，有一个 n 级台阶的楼梯，每级台阶上都有若干个石子，其中第 i 级台阶上有 ai 个石子(i≥1)。
两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中（不能不拿）。
已经拿到地面上的石子不能再拿，最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
结论
将奇数台阶看做一个经典的Nim游戏，如果先手时奇数台阶上的值的异或值为0，则先手必败，反之必胜
详解
先手时，如果奇数台阶异或非0，根据经典Nim游戏，先手总有一种方式使奇数台阶异或为0，于是先手留了奇数台阶异或为0的状态给后手
于是轮到后手：
①当后手移动偶数台阶上的石子时，先手只需将对手移动的石子继续移到下一个台阶，这样奇数台阶的石子相当于没变，于是留给后手的又是奇数台阶异或为0的状态
②当后手移动奇数台阶上的石子时，留给先手的奇数台阶异或非0，根据经典Nim游戏，先手总能找出一种方案使奇数台阶异或为0
因此无论后手如何移动，先手总能通过操作把奇数异或为0的情况留给后手，当奇数台阶全为0时，只留下偶数台阶上有石子。
先手总是把奇数台阶异或为0的状态留给对面，即总是将必败态交给对面
因为偶数台阶上的石子要想移动到地面，必然需要经过偶数次移动，又因为奇数台阶全0的情况是留给后手的，因此先手总是可以将石子移动到地面，当将最后一个（堆）石子移动到地面时，后手无法操作，即后手失败。
因此如果先手时奇数台阶上的值的异或值为非0，则先手必胜，反之必败
集合Nim游戏
问题描述
给定 n 堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 S。
现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S，最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
结论
对于一个图GG，如果SG(G)!=0SG(G)!=0，则先手必胜，反之必败
对于n个图，如果SG(G1)SG(G1) ^ SG(G2)SG(G2) ^ … SG(Gn)!=0SG(Gn)!=0 ,则先手必胜，反之必败
详解
一堆石头的证明(一个图)
若SG(G) != 0
1.根据性质2，先手必可以走向0，
2.因此留给后手的是0，根据性质3，后手只能走向非0
3.以此类推，后手始终无法走向0，后手永远处于非0，当先手到达终点的0时，先手获胜
反之同理，先手必败
多堆石头的证明(多个图)
①当SG(Gi)=0时，xor = 0， 显然先手必败
（PS：结束状态必是状态①，但状态①不一定是结束状态）
②当xor=x!=0xor=x!=0 时，因为肯定存在一个SG(xi)SG(xi)^x <SG(xi)<SG(xi),而根据SG()SG()的性质1可知，SG(k)SG(k)可以走到0−k−10−k−1的任何一个状态，
因此，必定可以从SG(xi)−>SG(xi)SG(xi)−>SG(xi)^xx ， 于是使得xor=0xor=0
③当xor=0xor=0时，当移动任何一个节点时，对应的SGSG值必然减小，可以证明：xor!=0xor!=0
证明xor != 0：xor=0xor=0,则说明移动的那个节点的值并没有变化，即从SG(k)SG(k)变成了kk，但是这与SGSG函数的性质1相矛盾，因此不成立
