最大公约数问题

解法一

早在公元前300年，欧几里德就在《几何原本》中给出了高效的辗转相除法。欧几里得辗转相除法是现在算法的鼻祖。

算法思路（伪代码）

function gcd (a, b)
    while  b ≠ 0
        t  = b
        b = a mod b  //取余
        a = t
     return a

算法证明
1. 两个数a、b,用a除以b,得 a = bq + r(q是商   r是余数)。若 r等于0，则b为最大公约数,否则，接着往下走

2. 证明一点：任何a和b的公约数都是r的公约数。

   证明：假设d为a、b的公约数，则a = md  b = nd.  

            r = a - bq = md - ndb = (m - nb)d. 得证

3. 对于所有的d，这都是正确的，因此a、b的公约数也即b、r的公约数。a、b的最大公约数也即b、r的最大公约数。

这样一直重复2 3过程，直到r=0。则b、r的最大公约数为b。这样得求。

例子说明

12 和 8的最大公约数：

b != 0

a = 12, b = 8
tmp = b = 8
b = a % b = 12 % 8 = 4
a = tmp = 8

b != 0
tmp = b = 4
b = a % b = 0
a = tmp = 4
最大公约数为4

程序实现

 迭代思路

#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b)
{
    int tmp;
    while (b ！= 0)
    {
        tmp = b;
        b = a % b;
        a = tmp;
    }

    return a;
}
int main()
{
    printf("%d\n", gcd(12, 8));
    
    return 0;
}

 

 递归思路

#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b)
{
    return (!y) ? x : gcd(b, a % b);
}
int main()
{
    printf("%d\n", gcd(12, 8));
    
    return 0;
}

瑕疵：用到了取模运算，对于大整数而言，取模运算是非常昂贵的开销，成为了该算法的瓶颈。

 

解法二

类似于欧几里德辗转相除法，两个数的公约数必然是两者之差的公约数（a = md， b = nd, a - b = (m-n)*d）,因此f(a,b) = f(b, a-b)，这里注意前者大于后者，否则，把两者换过来。

示例

f(42,30)=f(30,12)=f(12,18)=f(18,12)=f(12,6)=f(6,6)=f(6,0), 结果为6

代码

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int m, int n)
{
    if(n == 0)
        return m;
    if(m < n)
        return gcd(n, m);
    else
        return gcd(n, m-n);
}

int main()
{
    cout << "42, 30:" << gcd(42, 30) << endl;
    return 0;
}

结果

瑕疵：该方法免去了大整数除法的繁琐，但是新的不足之处在于：遇到一大一小，相差悬殊的情况（例如：（200000000， 1））

 

解法三

分析公约数特点：对于x和y来说(k为素数)

如果x = k * x1, y = k * y1，那么gcd(x,y)=gcd(x1,y1)*k

如果x = k * x1, y不能被k整除，那么gcd(x,y)=gcd(x1,y)

如果x不能被k整除 y = k * y1，那么gcd(x,y)=gcd(x,y1)

代码

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int m, int n)
{
    cout << "m, n:" << m << " " << n << endl;
    if(n == 0)
        return m;
    if(m < n)
        return gcd(n, m);
    else
    {
        if(m % 2 == 0)
        {
            if(n % 2 == 0)
                return (gcd(m >> 1, n >> 1) << 2);
            else
                return gcd(m >> 1, n);
        }
        else
        {
            if(n % 2 == 0)
                return gcd(m , n >> 1);
            else
                return gcd(n, m - n);
        }
    }
}

int main()
{
    cout << "20000, 1000：" << gcd(20000, 1000) << endl;
    return 0;
}

结果

评述：解法一瓶颈在于计算大整数除法，解法二瓶颈在于有时迭代次数太多。解法三充分综合了一二的优点。另外解法三选取2作为素数，通过移位方便的进行乘除，避免了一定的大整数乘除法。

 

参考：《编程之美》2.7