P2860 [USACO06JAN] Redundant Paths 题解

题目要求我们给一个无向联通图上加几条边，使得整个图变成一个双联通分量。

我们可以想到的一个思路就是，首先跑一遍 Tarjan 算法，将所有的双连通分量缩成点，这样就可以将整张图缩成一棵树。

这样的话，我们可以瞎搞出来一个结论，如下：

我们统计出来所有的叶子结点，记其数目为 $cnt$，我们最终要加的边数最少就是 $\lceil \dfrac{cnt}{2} \rceil$。

首先我们可以随便连接两个叶子结点，将其变为一个基环树。

我们可以证明，一定有一种连接方法，使得得到的基环树是有偶数条支链的。

如果我们得到的基环树有奇数条支链的话，我们可以进行一些转化：

假设当前有这样一个基环树：
（不如叫他1-乙基-3-(1-甲基)乙基环己烷1-ethyl-3-(1-methyl)ethylcyclohexane）

我们可以找到一条边，连接两个端点，而其中一个端点有支链。不妨设这个有支链的点为 $y$，另一个点为 $x$。

我们断开连接 $x$ 与 $y$ 的边，然后找到 $y$ 的一条支链最底端的叶子结点 $z$，最后连接 $x$ 与 $z$，减少了一条支链。

（不如叫他1,4-二乙基环辛烷1,4-diethylcyclohexane）

这样就可以变成只有偶数条支链了。

对于每一条支链的叶子结点，我们找到一个另外的叶子结点，使得他们的LCA在环上。这样就满足了我们“双联通分量”的要求。不懂的可以自己手画一下。

但是有些时候随机连接的方案不一定能让所有的LCA都在环上，比如这个：

这样连接就不可以：

这样连接就可以：

但是很不幸，上面的那种情况就是出现了。
现在我们考虑由其转移到一个可行的方案上面。

因为我们总共有偶数个叶子结点，所以我们最终还是会剩偶数个叶子结点没有配对。

我们可以通过不断对部分节点重新配对来缩小问题规模，直至解决问题。

我们先把不对劲的边断开：

然后找到已经配好对了的两个子节点，这里选取8和13；
断掉其间的边，然后分别找一个子树上的任意一个点连边；

然后我们的问题规模就缩小了2，剩下的点如法炮制即可。
如果最终只剩两个点，而且不在同一支链上的话就直接连边即可。

最终我们可以得出，我们最少需要连接的边数是 $\lceil \dfrac{cnt}{2} \rceil$ 条。

然后就可以上代码了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 10010, M = 200010;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int isBridge[M];
int dfn[N], low[N], cnt;
int sta[N], tt;
int scc[N], sc, sz[N];
int deg[N];
void add(int a, int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
void tarjan(int p, int from)
{
	low[p] = dfn[p] = ++cnt;
	sta[++tt] = p;
	for(int i = h[p]; ~i; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if(!dfn[j])
		{
			tarjan(j, i);
			low[p] = min(low[p], low[j]);
			if(dfn[p] < low[j])
				isBridge[i] = isBridge[i ^ 1] = true;
		}
		else if(i != (from ^ 1))
		{
			low[p] = min(low[p], dfn[j]);
		}
	}
	if(dfn[p] == low[p])
	{
		++sc;
		while(sta[tt] != p)
		{
			scc[sta[tt]] = sc;
			sz[sc]++;
			tt--;
		}
		scc[sta[tt]] = sc;
		sz[sc]++;
		tt--;
	}
}
int main()
{
	memset(h, -1, sizeof(h));
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		add(a, b), add(b, a);
	}
	tarjan(1, -1);
	for(int i = 0; i < idx; i++)
		if(isBridge[i])
			deg[scc[e[i]]]++;
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= sc; i++)
		if(deg[i] == 1)cnt++;
	printf("%d\n", (cnt + 1) / 2);
	return 0;
}

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本文作者：Kaiser Wilheim
本文链接：https://www.cnblogs.com/kaiserwilheim/p/16481893.html
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