Monty Hall Problem 概率论中的三门问题

Monty Hall Problem，中文翻译为三门问题，或者蒙提大厅问题，是一个与人的直观感受相左的概率论问题，它很巧妙的展示了先验知识对概率的影响。Monty Hall Problem源自美国的电视游戏节目Let's Make a Dea，该节目的主持人名字就叫做蒙提·霍尔（Monty Hall）

Monty Hall Problem的游戏规则是这样的：

（1）游戏玩家面对三个关闭的大门，每个门后面都有一个奖品，其中有1扇门后面的奖品是一辆车，另外2扇门后面各是一只山羊。奖品随机放在三个门后面。

（2）玩家最终只能打开一扇门，并拿到门后的奖品。显然，拿到汽车的收益最大。

（3）首先，玩家先挑选一个门，不妨假设为A门，其他两个门称为B门和C门。

（4）主持人知道车在哪个门后。在打开玩家选中的门之前，主持人会先打开另一个没有车的门来增加悬念（如果汽车在A门 后面，那么主持人打开 B 或者 C 都是安全的，所以他可以随意选择一个；如果汽车在B后面，那么主持人只能够选择C）

（5）然后主持人给玩家一个选择，是坚持最初的选择还是换到另外一个没有打开的门？

问题是：坚持与改选对选中汽车的概率有影响吗？

凭直觉看来，换与不换，选中汽车的概率都是五五开。但是经过数学计算后，我们发现，换到另一个门的获胜概率要大一些。

 

具体的计算过程设计概率论中全概率公式、贝叶斯公式及条件概率等概念。

设事件A为车在A门后面，事件B为车在B门后面，事件C为车在C门后面，事件b为打开B门的概率。又设玩家一开始选的是A门。

 

显然，一开始任意一个门后有车的概率，即先验概率为P(X)=1/3，X=A,B,C。

考虑假设1：车在A门后，主持人开B门。此时开B门还是C门是等价的（可能性相同）。则条件概率P(b|A)=1/2。

考虑假设2：车在B门后，主持人开B门。主持人事先知道B门后有车，因此不会去开B门。则P(b|B)=0。

考虑假设3：车在C门后，主持人开B门。由于玩家选的是A门，因此主持人只能开B门，则P(b|C)=1

	先验P(X)	P(b|X)
假设1，发生事件A	1/3	1/2
假设2，发生事件B	1/3	0
假设3，发生事件C	1/3	1

 

而我们感兴趣的是，当打开B门之后， A门后有车的概率与C门后有车的概率，即后验概率P(A|b)与P(C|b)。

由贝叶斯公式： 

 

由上所示，设玩家一开始选的是A门，当主持在主持人打开B门后，C门后出现汽车的概率要高于A门的概率。因此选择换门的获胜概率更大。