基础原理

符号或者解释

N：全体自然数：自然数就是指大于等于0的整数。当然，负数、小数、分数等就不算在其内了

Z：全体整数：是正整数、零、负整数，整数不包括小数、分数

Q：全体有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称

R：全体实数：是有理数和无理数的总称，可以直观地看作有限小数与无限小数

 

∈：表示元素和集合之间的关系。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a∈A

∉：表示元素和集合之间的关系。如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作 a∉A

 

⊆是包含于符号：A包含于B，则A为B的子集或等于B

⊊是⊆的否定

⫋是真包含符号：A真包含于B-则A为B的真子集，若B={1，2}，则A={1}或{2}或空集

⊂是包含于符号，和⊆的区别是：A包含于B-则A为B的子集（少了“等于B”）

⊄表示不包含于，是⊂的否定

（p：符号开口方向向左和向右表示包含和包含于的关系，意思是一样理解的）

 

∩交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

∪并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B

 CuP(P是任意集合的名称)补集：设U是一个集合，A是U的U一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集

 

 

差集：A={1,2,3,4,5} B={1,2,3,6} 差集B-A={6} 即把B中属于A的元素去掉

 

全集： 一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素（p：网上说记住U，b站宋浩老师说记住欧米茄Ω）

 

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集合

原理解释：一些确定的对象或事物（{1，2，3}、学生、线上的所有点）

集合是由元素组成（向上面的1或者2或者3都是元素）

集合一般都是用大写字母来表示（A、B、C），元素使用小写的字母来表示（a、b、c）

如果一个元素属于这个集合里（a∈A）

如果一个元素不属于这个集合（a∉A）

有有限元素的集合叫有限集

有无限元素的集合叫无限集

集合的表现方法有两个

1：列举法（就是将集合里面的元素都写出来）{1，3，5，7，9}（p：少量元素可以使用，但是如果元素多的话，用列举法就不合适了）

2：描述法（就是将集合里面的元素描述出来）{a | a具有的描述}（p：前面的a表示元素是什么，|竖线做分割，后面是对元素的一些要求）（p：（用上面的13579做例子）{a|1<=a<=9.a为奇数}）

N：全体自然数

Z：全体整数

Q：全体有理数

R：全体实数（R+是全体正实数，R-是全体负实数，R*是全体除零以外的实数（p：+，-，*都是在右上角，电脑没办法））

子集

a∈A是元素属于集合

但是集合之间是A⊂B，B⊃A（包含于的关系）

一个例子：
a=1、A={1，2，3}、B={{1，2，3}，{1}}

a∈A是属于的关系，而A和B也是属于的关系A∈B，因为B是集合的集合

等集

A⊂B，B⊂A那就是等集（证明集合相等就是互相包含于）

空集

不含任何元素的集合就是空集Ø

空集虽然没有元素但也是集合

空集是任何集合的子集（Ø⊂A）(p：空集包含于任何集合)

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集合运算律

基础：A∪B=B∪A　　A∩B=B∩A　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C)　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

重要的：A∩(B∪C)=（A∩B∪(A∩C)　　A∪(B∩C)=（A∪B)∩(A∪C)　　Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB)　　Cu(A∩B)=(CuA)∪(CuB)

 

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直积：AXB={ ( a, b ) | a∈A  b∈B}　　有序的(有顺序的)（a ,b）

假设：A={1,2} B={6,66,666}

AXB={(1,6) ,(1,66) ,(1,666) ,(2,6) ,(1,66) ,(1,666)}

BXA={(6,1), (66,1), (66,1), (6,2), (66,2), (666,2)}

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区间

有限区间：开区间:（a ,b）　　闭区间: [a ,b]　　左开右闭（a ,b]　　左闭右开: [a ,b)

无限区间：无穷：∞　　正无穷：+∞ 　　负无穷：-∞

 

(+∞) - (+∞)=不确定　　(+∞) - (+∞)= +∞　　(-∞) - (-∞)=不确定　　(-∞) + (-∞)= -∞　　(+∞) + (-∞)=不确定

(+∞) * (+∞)=+∞　　　　(-∞) * (-∞)= +∞　　(+∞) * (-∞)= -∞

(+∞) / (+∞)=不确定

 

列题：当x趋向正无穷时：x->+∞

　　　　　　　　　　　　x-x=0

　　　　　　　　　　　　(x+5)-x=5

　　　　　　　　　　　　x²-x等于正无穷

　　　　　　　　　　　　x-x²等于负无穷

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邻域