bzoj3505 / P3166 [CQOI2014]数三角形

P3166 [CQOI2014]数三角形

前置知识：某两个点$(x_{1},,y_{1}),(x_{2},y_{2})\quad (x_{1}<x_{2},y_{1}<y_{2})$所连成的线段穿过整点的个数为$gcd(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})-1$

“注意三角形的三点不能共线。”

暗示你可以处理出总方案再减去三点共线的方案。

显然，总方案就是在$(n+1)*(m+1)$个点中任选$3$个。于是$tot=C((n+1)*(m+1),3)$

现在我们要算出三点共线的方案

对于直线上的三点共线，显然$tot1=n*C(m,3)+m*C(n,3)$

对于斜线上的三点共线，我们可以根据前置知识↑↑枚举。

然鹅暴力枚举复杂度是达到$O(n^{2}m^{2})$的

所以我们需要转化

注意到其实我们可以只枚举$l=x_{2}-x_{1},r=y_{2}-y_{1}$，相当于把这两个数据看做一个矩形的长和宽。

蓝后我们要算出整个大矩形中有几个这样的小矩形：$(n-l+1)*(m-r+1)$

每个矩形中包含$2$条对角线，所以$tot2*=2$

所以斜线上的三点共线$tot2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)-1)*(n-i+1)*(m-j+1)$

代码中为了方便事先把$n,m$都$+1$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
using namespace std;
typedef long long ll;
ll m,n,ans;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);++n;++m;
    ll tmp=n*m;
    ans=tmp*(tmp-1)*(tmp-2)/6;
    ans-=n*m*(m-1)*(m-2)/6;
    ans-=m*n*(n-1)*(n-2)/6;//减去横向和纵向的三点共线
    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=1;j<m;++j)
            ans-=1ll*(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j)*2;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
    return 0;
}