bzoj3270 博物馆（期望+高斯消元）

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有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）

不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。

两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

 

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。

之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。

之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

 

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）

注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

---

（可以列个概率方程并暴力矩乘，然鹅并不知道什么时候收敛，精度会出现误差）

设两个人在$(x,y)$的期望经过次数为$f(x,y)$，$(x,y)$转移到$(r,w)$的概率为$a[(r,w)][(x,y)]$，

点$i$连$in[i]$条边，在点$i$停留的概率为$p[i]$

$a[(x,y)][(x,y)]=p[x]*p[y]$

$a[(x,y+1)][(x,y)]=p[x]*(1-p[y])/in[y]$

$a[(x+1,y)][(x,y)]=p[y]*(1-p[x])/in[x]$

$a[(x+1,y+1)][(x,y)]=(1-p[y])/in[y]*(1-p[x])/in[x]$

那么对于每个$f(x,y)$，我们都能得出一个方程：

$f(x,y)= \sum f(r,w)*a[(x,y)][(r,w)]$（$r=x$或存在边$(x,r)$，$w$同理）

酱紫我们就得出了$n^2$个方程。

发现方程组存在环的关系，而对于$n$元1次方程组，常规做法是套个高斯消元上去

把上面的方程移项一下

$ \sum f(r,w)*a[(x,y)][(r,w)]-f(x,y)=0$

蓝后跑高斯消元就好辣

最后对于$f(a,b)$，因为是初始点，所以要期望次数+1

终点只走一次，所以期望经过次数就等于概率

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef double db;
const db eps=1e-9;
inline db Fabs(db x){return x<0?-x:x;}
#define N 420
int n,m,w,A,B,id[N][N];
db p[N],a[N][N],sol[N];
vector <int> g[N];
void draw(int x,int y){
    int e=id[x][y],lx=g[x].size(),ly=g[y].size();//lx,ly:x,y的连边数
    for(int i=0;i<lx;++i){
        int r=g[x][i];
        a[id[r][y]][e]+=(1-p[x])/(1.0*lx)*p[y];
    }
    for(int i=0;i<ly;++i){
        int r=g[y][i];
        a[id[x][r]][e]+=(1-p[y])/(1.0*ly)*p[x];
    }
    for(int i=0;i<lx;++i)
        for(int j=0;j<ly;++j){
            int r1=g[x][i],r2=g[y][j];
            a[id[r1][r2]][e]+=(1-p[x])/(1.0*lx)*(1-p[y])/(1.0*ly);
        }
}
void gauss(){
    for(int i=1,x=1;i<=w;x=++i){
        for(int j=i+1;j<=w;++j) if(Fabs(a[j][i])>Fabs(a[x][i])) x=j;
        if(x!=i) swap(a[x],a[i]);
        if(Fabs(a[i][i])<eps) continue;
        for(int j=1;j<=w;++j){
            if(i==j) continue;
            db div=a[j][i]/a[i][i];
            for(int u=i;u<=w+1;++u) a[j][u]-=a[i][u]*div;
        }
    }
    for(int i=w;i;--i){
        sol[i]=a[i][w+1];
        for(int j=w;j>i;--j) sol[i]-=sol[j]*a[i][j];
        sol[i]/=a[i][i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%.6f ",sol[id[i][i]]+eps);//防止输出-0.00
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&A,&B);
    for(int i=1,u,v;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j){
            id[i][j]=++w;
            if(i!=j) a[w][w]=p[i]*p[j];
        }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            if(i!=j) draw(i,j);
    for(int i=1;i<=w;++i) a[i][i]-=1.0;//移项系数为-1
    a[id[A][B]][w+1]=-1.0;//起点+1
    gauss(); return 0;
}