P4027 [NOI2007]货币兑换（斜率优化dp+cdq分治）

P4027 [NOI2007]货币兑换

显然，如果某一天要买券，一定是把钱全部花掉。否则不是最优（攒着干啥）

我们设$f[j]$为第$j$天时用户手上最多有多少钱

设$w$为花完钱买到的$B$券数

$f[j]=R_{j}*w*A_{j}+w*B_{j}$

$w=f[j]/(R_{j}*A_{j}+B_{j})$

在第$i$天的转移方程：

$f[i]=R_{j}*w*A_{i}+w*B_{i}$

$w*B_{i}=-R_{j}*w*A_{i}+f[i]$

$w=-A_{i}/B_{i}*R_{j}*w+f[i]/B_{i}$

又化成了熟悉的$y=k*x+b$

$y=w$

$k=-A_{i}/B_{i}$

$x=R_{j}*w$

$b=f[i]/B_{i}$

于是就变成了熟悉的斜率优化辣

可是本题中的$k,x$均不单调

不能直接上单调队列维护凸包

于是我们使用cdq分治让$x$单调

再把$k$排序

在分治过程中维护凸包

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rint register int
using namespace std;
typedef double db;
#define N 100005
inline db Max(db a,db b){return a>b?a:b;}
int n,tp,h[N]; db f[N];
struct data{db k,X,Y,A,B,R;int id;}a[N],b[N];
inline bool cmp(data x,data y){return x.k<y.k;}
//inline db K(int x,int y){return (a[x].Y-a[y].Y)/(a[x].X-a[y].X);}
inline db KK(db x1,db x2,db y1,db y2){return x1*y2-x2*y1;}//斜率比较时避免除法，减少误差
void CDQ(int l,int r){
    if(l==r){//l之前的询问已处理完
        f[l]=Max(f[l],f[l-1]);
        a[l].Y=f[l]/(a[l].A*a[l].R+a[l].B);
        a[l].X=a[l].Y*a[l].R;
        return ;
    }int mid=(l+r)>>1; tp=0;//可以取(0,0)（大雾）
    for(rint i=l,L=l,R=mid+1;i<=r;++i){
        if(a[i].id<=mid) b[L++]=a[i];
        else b[R++]=a[i];
    }//前mid个询问扔到左边，后mid个扔到右边
    for(rint i=l;i<=r;++i) a[i]=b[i];
    CDQ(l,mid);
    for(rint i=l;i<=mid;++i){
        //while(tp&&K(h[tp],i)>K(h[tp-1],h[tp])) --tp;
        while(tp&&KK(a[i].X-a[h[tp]].X,a[i].Y-a[h[tp]].Y,
        a[h[tp]].X-a[h[tp-1]].X,a[h[tp]].Y-a[h[tp-1]].Y)<=0) --tp;
        
        h[++tp]=i;
    }//凸包维护
    for(rint i=mid+1;i<=r;++i){//处理右边的询问
        //while(tp&&K(h[tp-1],h[tp])<=a[i].k) --tp;
        while(tp&&KK(1,a[i].k,a[h[tp]].X-a[h[tp-1]].X,
        a[h[tp]].Y-a[h[tp-1]].Y)<=0) --tp;
        
        f[a[i].id]=Max(f[a[i].id],a[h[tp]].X*a[i].A+a[h[tp]].Y*a[i].B);//
    }CDQ(mid+1,r);
    for(rint i=l,L=l,R=mid+1;i<=r;++i)//按X坐标排序
        b[i]=(L<=mid&&(R>r||a[L].X<a[R].X))?a[L++]:a[R++];
    for(rint i=l;i<=r;++i) a[i]=b[i];
}
int main(){
    //freopen("P4027.in","r",stdin);
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(rint i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].R);
        a[i].k=-a[i].A/a[i].B; a[i].id=i;
    }sort(a+1,a+n+1,cmp);
    CDQ(1,n); printf("%.3lf",f[n]);
    return 0;
}