最大公约数和最小公倍数问题

求解最大公约数常用欧几里得算法(即辗转相除法)

设a、b均为正整数，则$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

证明：设$a=kb+r$，其中k和r分别为a除以b得到的商和余数。则有$r=a-kb$成立。
设d为a和b的一个公约数，那么由$r=a-kb$，得d也是r的一个约数。因此d是b和r的一个公约数。
又由$r=a%b$，得d为b和a%b的一个公约数。因此d既是a和b的公约数，也是b和a%b的公约数。
由d的任意性，得a和b的公约数都是b和a%b的公约数。
由$a=kb+r$，同理可证b和a%b的公约数都是a和b的公约数。
因此a和b的公约数与b和a%b的公约数全部相等，故其最大公约数也相等，即有$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$。
证毕。

 

int gcd(int a,int b)
{
    while(c)
    {
        int c = a%b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return a;
}

 

 

设a，b的最大公约数为c则a,b的最小公倍数为$a/c*b$ (避免了$a*b$溢出的可能)
因为a和b的最大公约数是集合a,集合b的交集,而最小公倍数是集合a，集合b的并集。
$a*b$得到并集的同时，中间的公因子部分多计算了一次，因此要除以一次最大公因数。