数据结构学习笔记-day2
Day2
一、算法和算法分析
- 算法特性：有穷性、确定性、可行性、输入、输出。
2.算法的时间复杂度：（影响算法时间代价的最主要因素是问题规模）
问题规模：是算法求解问题输入量的大小，是问题的本质表示，一般用n
代表。
算法执行时间=所有（语句频度*语句执行时间）的总和
语句频度：一条语句重复执行的次数。
3.算法的时间复杂度定义（用基本语句执行次数来度量算法工作）
基本语句：指的是算法中重复执行次数和算法时间成正比的语句。
一般情况下，算法中基本语句重复执行次数是问题规模n的某个函数f（n），算法的时间量度记作：
T(n)=O(f(n))
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称做算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
数学符号O定义为：若T(n)和f(n)是定义在整数合集上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0，使得当n>=n0时都满足0<=T(n)<=Cf(n)。
4.算法的时间复杂度分析举例
△找出所有语句中语句频度最大的那条语句作为基本语句，计算其语句频度得到f(n)，取其数量级用符号“O”表示。
定理1：若f(n)=amn^m+a(m-1)n^(m-1)+……+a1n+a0是一个m次多项式，则T(n)=O(n^m)。
例1.
{x++;s=0;}
两语句频度均为1，算法执行时间是与问题规模n无关的常数，所以算法的时间复杂度为T(n)=O(1),称为常量阶。
若算法执行时间不随问题规模n的增加而增长，算法语句频度就是某个常数，即使这个常数再大，算法的时间复杂度都为O(1).
例2.
For(i=0;i<=10000;i++){x++;s=0;}
两基本语句的频度均为f(n)=n，所以T(n)=O(n)。（线性阶）
例3.
x=0;y=0;
for(k=1;k<=n;k++)
x++;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
y++;
频度最大语句y++语句频度为f(n)=n^2，所以T(n)=O(n^2)。（平方阶）
例4.
x=1;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
for(k=1;k<=j;k++)
x++;
时间复杂度T(n)=O(n^3)。（立方阶）
例5.
for(i=1;i<=n;i=i*2){x++;s=0;}
有2^f(n)<=n，则f(n)<=log2n，所以T(n)=O(log2n)。（对数阶）
△常见时间复杂度按数量级递增排列：
常量阶O(1)<对数阶O(log2n)<线性阶O(n)<线性对数阶O(nlog2n)<平方阶O(n^2)<立方阶O(n^3)<………k次方阶O(n^k)<指数阶O(2^n)
随着n的增长，T(n)增长较缓慢的算法为较优算法。
- 某些算法其基本语句的频度不仅仅与问题规模n有关，还依赖于其他因素。
最好情况下的时间复杂度为最好时间复杂度；
最坏情况下的时间复杂度为最坏时间复杂度；
算法的平均时间复杂度为算法所有情况下算法计算量的加权平均值。
- 算法的空间复杂度
渐进空间复杂度：作为算法所需存储空间的量度，简称空间复杂度，也是问题规模n的函数，记：
S(n)=O(f(n))
分析算法实现所需的辅助空间即可，若辅助空间相对于输入数据而言是个常量，则称这个算法原地工作，辅助空间为O(1)。
详例见书本
