爬楼梯与斐波那契数列

今天做leetcode时，做到了爬楼梯问题：

https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/

问题不再赘述。

　　刚开始看到题的时候，就想着分析n级楼梯，直接得出答案。但是，在分析的过程中发现，若是对于一个常数n，且n不太大的情况下，利用排列组合的方法，也许可以得出结果，但是工作量大得无法想象，遂放弃排列组合。

　　于是，老办法，n=1，n=2，n=3...发现竟然有点像斐波那契数列，于是，按照斐波那契数列的方法去做，果然ok！

　　虽然得到了结果，但是偏执癌又犯了，为什么可以用斐波那契数列解决呢？思索之后，未得出满意的结果，遂查找资料：

　　斐波那契数列，兔子生产与斐波那契数列，爬楼梯与斐波那契数列。。。

　　（期间推敲了兔子生产的问题）

 

　　在这个博客里 http://blog.csdn.net/ljsspace/article/details/6455293 给出了让人满意的分析：

　　首先考虑第一步的走法：第一步可以走1级台阶，也可以走2级台阶。那么，设S(n)表示走n级台阶的走法数量，如果第一步走1级台阶，剩下的台阶数为n-1，也就是说这种情况下的走法是相当于S(n-1)；同理，如果第一步走2级台阶，剩下的台阶数为n-2，这样的走法相当于S(n-2)；于是，得出递推公式：

S(n) = S(n-1) + S(n-2);

　　接下来就很简单了：

S(1)=1，S(2)=2;

　　这下感觉圆满了！！

　　

　　不过，还是应当反思一下，为什么自己没有想到这样去分析呢？其实最初开始分析的时候，也是朝着这个方向去的，但是，思考一阵之后，没有得出满意答案，于是就放弃了。其实，这是一直都存在的毛病，确切说，应该是见得少的缘故，导致没有足够的经验，权衡之后，选择放弃，因为有可能是白白浪费时间和精力。事实证明，放弃的决定大多数是错误的：首先，对问题的“第一印象”是很重要的，往往就是从“第一印象”着手去分析，因为对于一个陌生的问题，也只能这样做；其次，随着分析的深入，从“第一印象”扩展开来，都会大致朝着正确的方向的，并逐渐接近问题的本质，那句话怎么说来着？透过现象看本质，现象是事物本质的外部表现，等等（理论学得不好），大概就是说通过现象去认识本质（词穷了）；再次，在除去将要被“放弃”的方向之外，没有其他可以努力的方向时，就更不应该放弃了。

 

　　还有一个问题：

　　在实现过程中，使用两种方法：

　　由于水平有限，“第一印象”只能想到这两种。

　　方法一：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        
        if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }else{
            int n1 = 1, n2 = 2;
            int nf;
            for(int i = 2;i < n;++i){
                nf = n1 + n2;
                n1 = n2;
                n2 = nf;
            }
            return nf;
        }
    }
};

方法二：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        
        if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }else{
            vector<int> buff;
            buff.push_back(1);
            buff.push_back(2);
            for(int i = 2;i < n;++i){
                int temp = buff[i - 1] + buff[i - 2];
                buff.push_back(temp);
            }
            return buff[n-1];
        }

    }
};

　　两种方法提交之后，方法二的Runtimes比方法一的要少，这说明使用法二性能比法一要好，就涉及到vector相关性能分析了，稍后再补上。

　　如果有哪位能够给出一些指导，将不胜感激！