递归问题1

经典递归问题

递归需要满足 3 要素：

1、一个父问题可以拆分成若干个子问题，并且若干子问题的结果汇总起来就是父问题的答案。

2、父问题和子问题，解题思路必须完全一致，只是数据规模不同。

3、存在终止条件。

问题在不断拆分的同时，一定要在某个节点终止拆分，得到一个明确的答案。

问题一：假设有 n 个台阶，每次可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走完这 n 个台阶一共有多少种走法？

1、假设有 1 个台阶，一共有（1） 种走法

2、假设有 2 个台阶，一共有 2 种走法 【1，1】【2】

3、假设有 3 个台阶，一共有（）种走法？【1，1，1】【1，2】【2，1】

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可以根据第一步的走法进行分类

第一类是第一步走了 1 个台阶

第二类是第一步走了 2 个台阶

所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 个台阶后，n-1 个台阶的走法+先走 2 个台阶后，n-2 个台阶的走法。

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

f(1) = 1，能否作为终止条件？

n = 2，f(2) = f(1)+f(0)，如果终止条件只有一个 f(1) = 1，f(2) 就无法求解， 因为 f(0) 的值无法确定，

把 f(2) = 2 作为一个终止条件

终止条件有两个：

f(1) = 1;

f(2) = 2;

n = 3，f(3) = f(2)+f(1) = 3

n = 4，f(4) = f(3)+f(2) = 3 + 2 = 5

递推公式

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2);

推导出递归代码

int f(int n){
	if(n == 1) return 1;
	if(n == 2) return 2;
	return f(n-1) + f(n-2);
}

Java代码

public static void main(String[] args) {
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
        System.out.println(i+"个台阶共有"+f1(i)+"种走法");
    }
}

public static int f1(int n){
    if(n==1){
        return 1;
    }else if(n==2){
        return 2;
    }else {
        return f1(n-1) + f1(n-2);
    }
}

问题二：n!的计算

public static void main(String[] args) {
    for (int i = 5; i < 10; i++) {
        System.out.println(i+"的阶乘为:"+f2(i));
    }
}

//递归
public static int f1(int n){
    if(n==1){
        return 1;
    }else {
        return f1(n-1)*n;
    }
}
//循环
public static int f2(int n) {
    if(n == 1) return 1;
    int sum = 1;
    for (int i = 1; i <= n ; i++) {
        sum = sum * i;
    }
    return sum;
}