旋转三种表示详解

简介

我们来看一个简单的例子。

绕y轴旋转${30}^o$,三种表示。

• 矩阵 ： $R_y({30}^o)=\left[\begin{array}{ccc}\cos {30}^o& 0& -\sin {30}^o\\ 0& 1& 0\\ \sin {30}^o& 0& \cos {30}^o\end{array}\right]$
• 欧拉角 ：
  • $Heading(Yaw/y)$   =30
  • $pitch(x)$                    =0
  • $bank(Roll/z)$          =0
• 四元数 : [0.9659   (0   0.2588   0)]

我们先要了解这三种旋转方式的优缺点：

任务/性质	旋转矩阵	欧拉角	欧拉角
在坐标系间(物体和惯性)旋转点	能	不能（必须转换到矩阵）	不能（必须转化到矩阵）
连接或增量旋转	能,但经常比四元数慢,小心矩阵蠕变的情况	不能	能，比矩阵快
插值	基本上不能	能，但可能遭遇万向锁或其他问题	Slerp,提供了平滑插值
易用程度	难	易	难
在内存或文件存储	9个数	3个数	4个数
对给定方位的表达方式是否唯一	是	不是,对同一方位有无数多种方法	不是,有两种方法,他们互相为互
可能导致非法	矩阵蠕变	任意三个数能构成合法的欧拉角	可能会出现误差累计,从而产生非法的四元数

矩阵

平面二维旋转

如下图，XY坐标系中，向量OP旋转β角度到了OP'的位置：

根据三角函数关系，可以列出向量OP与OP'的坐标表示形式：

$\{\begin{array}{ll}& x=|OP|\ast \cos \alpha \\ & y=|OP|\ast sin\alpha \end{array}$
$\{\begin{array}{ll}& x^{\prime }=|OP|\ast \cos (\alpha +\beta )\\ & y^{\prime }=|OP|\ast sin(\alpha +\beta )\end{array}$
对比上面个两个式子，将第2个式子展开：
$\{\begin{array}{ll}& x^{\prime }=|OP|\ast \cos (\alpha +\beta )=|OP|\ast (\cos \alpha \ast \cos \beta -\sin \alpha \ast \sin \beta )=x\ast \cos \beta -y\ast \sin \beta \\ & y^{\prime }=|OP|\ast sin(\alpha +\beta )=|OP|\ast (\cos \alpha \ast \sin \beta +\sin \alpha \ast \cos \beta )=x\ast \sin \beta +y\ast \cos \beta \end{array}$
用矩阵形式重新表示为：
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y\prime \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$
这就是二维旋转的基本形式，中间的矩阵即二维旋转的旋转矩阵，坐标中的某一向量左乘该矩阵后，即得到这个向量旋转β角后的坐标。

三维旋转

三维旋转可借助二维旋转来理解，由于三维空间中可以任意轴旋转，为方便分析与使用，只考虑绕X、Y、Z轴的旋转。

绕Z轴

参照上面的图，添加一个Z轴，则上面的二维旋转实际上就是绕Z轴的三维旋转

照搬上面的推导公式，并添加Z坐标的变换关系(实际是没有变)，然后改写成矩阵形式，红色方框即为绕Z轴的旋转矩阵。
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\ast \cos \beta -y\ast \sin \beta \\ y^{\prime }=x\ast \sin \beta +y\ast \cos \beta \\ z^{\prime }=z\end{array}$
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & -\sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

绕Y轴

绕Y轴旋转同理，这里直接改变坐标轴的符号表示，注意坐标顺序要符合右手系，我这里用颜色区分了不同的轴。最终的矩阵形式要进一步改写成XYZ的顺序。红色方框即为绕Y轴的旋转矩阵。

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=z\ast \sin \beta +x\ast \cos \beta \\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\ast \cos \beta -x\ast \sin \beta \end{array}$
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

绕X轴

参照绕Y轴的推导，可以得到绕X轴的结果。红色方框即为绕X轴的旋转矩阵。

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=y\ast \cos \beta -z\ast \sin \beta \\ z^{\prime }=y\ast \sin \beta +z\ast \cos \beta \end{array}$
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \beta & -\sin \beta \\ 0& \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

绕任意方向旋转

平凡的我们是不需要知道的。

欧拉角

四元数

四元数记法

$q=[w,v]$                其中$v$向量表示。
$q=[w,(x,y,z)]$    其中$x,y,z$都是复数。
$q=[\cos \theta /2,(\sin \theta /2)n_x,(\sin \theta /2)n_y,(\sin \theta /2)n_z]$       其中$n$表示任意向量

复数

在介绍四元数与 3D 旋转之间的关系之前，我们先来讨论一下复数（Complex
Number）的一些性质以及它与 2D 旋转之间的关系．四元数的很多性质在很
多层面上都与复数非常类似，所以理解复数的一些性质会对理解四元数非常
有帮助．

复数表示形式：$z=a+bi$
我们可以用向量来表示这个复数：$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$
在平面上我们表示为：R𝑒 代表它的实部，纵坐标 𝐼𝑚 代表它的虚部：

两个复数$z_1=a+bi,z_2=c+di$相乘：
$z_1{z}_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2$
因为$i^2=-1$这可以进一步简化为:
$z_1{z}_2=ac-bd+adi+bci=ac-bd+(bc+ad)i$
如果仔细观察你就能发现，复数相乘的结果其实也是一个矩阵与向量相乘的
结果，也就是说：
$z_1{z}_2=ac-bd+(bc+ad)i=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$
右侧$\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$是用向量的形式来表示的 $z_2$。
左侧$\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$则是$z_1$的矩阵。
我们可以发现，复数相乘这个运算，其实是与这个$\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$矩阵所代表的变换是等价的。
复数与复数的相乘也可以表示为矩阵的相乘：
$z_1{z}_2=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ac-bd& -(bc+ad)\\ bc+ad& ac-bd\end{array}\right]$
除此之外，我们来看一下一些特殊复数的矩阵形式：
$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=1$      (a=1,b=0)
$i=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$      (a=0,b=1)
如果我们尝试对它进行平方，可以发现：
$i^2=i\ast i=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=-I=-1$
复数的模长与共轭:
在进行下一步的讨论之前，我们先定义一下复数的模长（Magnitude）．如
果 $𝑧=𝑎+𝑏𝑖$，那么它的模长为:
$||z||=\sqrt{a^2+b^2}$
接下来，我们定义复数的共轭（Conjugate）．如果 $𝑧=𝑎+𝑏𝑖$，那么它的共
轭:
$\bar{z}=a-bi$

复数相乘与 2D 旋转

现在，我们回到之前的话题，既然与复数的相乘代表着$\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$矩阵所作出的变换，那这种变换代表着什么呢？
实际上，如果我们对这个矩阵进行一些变形，这个问题就很容易解决了
$\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]=\sqrt{a^2+b^2}\left[\begin{array}{cc}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}& \frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}& \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right]$
我们将矩阵中每一个元素都除以了模长$||z||=\sqrt{a^2+b^2}$并将这一项提到了矩阵外面．经过这一变换，我们只需要观察一下复平面就能够解答之前的问题了：

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