积分

积分入门

积分是把片相加来求整体。

积分可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。要了解积分，最简单是从求 函数曲线下面的面积开始。像这样：

片

我们可以求函数在几点的值，然后把宽度为Δx的片的面积加起来（但答案不会很精确）：

我们可以使 Δx 非常小，然后 把很多片的面积加起来（答案比上面的好一点）：

当片的 宽度趋近零时，答案也趋近正确的面积。
我们用 dx 来代表趋近零的宽度 Δx。

有很多块片要相加！

可是，我们不需要做加法，有个 "捷径"。因为……

…… 求积分与求导数是相反的。

（所以你需要先了解 导数！）

如下：

记法

"积分" 的符号像英语字母 "S"
（源自英语 "Sum"（总和））：

把要求积分的函数（叫被积函数）放在积分符号后面，

最后放 dx 来代表积分的方向是 x（片沿 x 的宽度趋近零）。

我们这样写答案：

加 C

答案我们已经写了 x2，但为什么要加个 + C？

这个叫 "积分常数"。我们需要把它写上，因为有很多函数的导数都是 2x：

x2+4 的导数是 2x，x2+99 的导数也是 2x，…… ！因为常数的导数是零。

当我们把计算 倒转 来求积分时，我们只知道 2x，但其实答案可以有任何一个常数。

所以我们需要在答案后面加上 + C。

定积分与不定积分

我们上面做的都是不定积分。

定积分 有下限和上限的值（写在 "S" 符号的下面和上面）：

积分法则

积分 可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。它时常是用来求 函数曲线下面的面积的方法。像这样：

很多函数的积分都是众所周知的，也有很多有用的法则来帮助我们去求较为复杂的函数的积分，包括在下面列出的一些法则。

常用函数	函数	积分
常数	∫a dx	ax + C
变量	∫x dx	x2/2 + C
平方	∫x2 dx	x3/3 + C
倒数	∫(1/x) dx	ln|x| + C
指数	∫ex dx	ex + C
	∫ax dx	ax/ln(a) + C
	∫ln(x) dx	x ln(x) − x + C
三角法 （x 的单位是 弧度）	∫cos(x) dx	sin(x) + C
	∫sin(x) dx	-cos(x) + C
	∫sec2(x) dx	tan(x) + C
法则	函数	积分
乘以常数	∫cf(x) dx	c∫f(x) dx
幂次数法则 (n≠-1)	∫xn dx	xn+1/(n+1) + C
和法则	∫(f + g) dx	∫f dx + ∫g dx
差法则	∫(f - g) dx	∫f dx - ∫g dx

分部积分法

分部积分法是一个特别的积分方法，最适用于积分两个函数的积，但在其他的情况下也会有用。

下面会有很多例子，但我们先来看看法则：
$\int uvdx=u\int vdx-\int u^{\prime }(\int vdx)dx$

• $u\mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}u(x)$
• $v\mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}v(x)$

图：

换元积分法

定积分

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