陶哲轩实分析 2.2节 习题试解
近期从网上下载到了陶哲轩写的实分析，确实是本好书。只是全部的习题都没有给出答案。我试着自己做一遍习题，整理一份习题解答。
2.2.1 证明自然数加法是结合的 (a + b) + c = a + (b + c)
数学归纳法
a=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">a = 0</script> 时。
左边：
(0+b)+c=b+c
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-2">(0 + b) + c = b + c</script>
右边：
0+(b+c)=b+c
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-3">0 + (b + c) = b + c</script>
左边 = 右边
如果当 a=n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">a = n</script> 时，(n+b)+c=n+(b+c)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">(n + b) + c = n + (b + c)</script> 成立
则，当 a=n++<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">a = n++</script> 时
((n++)+b)+c=((n+b)++)+c=((n+b)+c)++=(n+(b+c))++=(n++)+(b+c)
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-7">
\begin{align}
((n++) + b) + c &= ((n + b)++) + c \\
&= ((n + b) + c) ++ \\
&= (n + (b + c))++ \\
&= (n++) + (b + c)
\end{align}
</script>
证毕
2.2.2 设 a 是一个正数，那么恰存在一个自然数 b，使得 (b++) = a
数学归纳法
a=1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">a = 1</script> 时 b=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">b = 0</script>
如果 a=n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">a = n</script> 时。 (b++)=a<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">(b++) = a</script> 成立
则当 a=n++<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">a = n++</script> 时。 b=n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">b = n</script> 满足 (b++)=a<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">(b++) = a</script>
证毕
2.2.3 自然数序的基本性质
(a) a≥a<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">a \geq a</script> （序是自反的）
a+0=a
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-16">a + 0 = a</script>
证毕
(b) a≥b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">a \geq b</script> 且 b≥c<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">b \geq c</script> 则 a≥c<script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">a \geq c</script> （序是传递的）
a+m1=bb+m2=c
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-20">
a + m_1 = b \\
b + m_2 = c
</script>
所以
(a+m1)+m2=ca+(m1+m2)=c
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-21">
(a + m_1) + m_2 = c \\
a + (m_1 + m_2) = c
</script>
所以 a≥c<script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">a \geq c</script>
证毕
(c) 若 a≥b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-23">a \geq b</script> 且 b≥a<script type="math/tex" id="MathJax-Element-24">b \geq a</script> 则 a=b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">a = b</script> （序是反对称的）
a+m1=bb+m2=aa+m1+m2=a
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-26">
a + m_1 = b \\
b + m_2 = a \\
a + m_1 + m_2 = a
</script>
所以 m1+m2=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-27">m_1 + m_2 = 0</script>
所以 m1=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">m_1 = 0</script>, m2=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">m_2 = 0</script>
所以 a=b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-30">a = b</script>
(d) a≥b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-31">a \geq b</script> 当且仅当 a+c≥b+c<script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">a + c \geq b + c</script> （加法保序）
先证明 a≥b⟹a+c≥b+c<script type="math/tex" id="MathJax-Element-33">a \geq b \Longrightarrow a + c \geq b + c</script>
数学归纳法
c=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">c = 0</script> 时， a+0≥b+0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">a + 0 \geq b + 0</script> 显然成立
如果 c=n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-36">c = n</script> 时。 a+n≥b+n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">a + n \geq b + n</script> 成立
当 c=n++<script type="math/tex" id="MathJax-Element-38">c = n++</script> 时
a+(n++)+m=((a+n)++)+m=((a+n)+m)++=(b+n)++=b+n++
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-39">
\begin{align}
a + (n++) + m &= ((a + n)++) + m \\
&= ((a + n) + m)++ \\
&= (b + n)++ = b + n++
\end{align}
</script>
所以
a+(n++)≥b+(n++)
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-40">
a + (n++) \geq b + (n++)
</script>
证毕
再证明 a+c≥b+c⟹a≥b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">a + c \geq b + c \Longrightarrow a \geq b</script>
a+c+m=b+ca+m=ba>b
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-42">
a + c + m = b + c \\
a + m = b \\
a > b
</script>
(e) a<b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-43">a < b</script> 当且仅当 a++≤b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-44">a++ \leq b</script>
先证明 a<b⟹a++≤b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-45">a < b \Longrightarrow a++ \leq b </script>
a<b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-46">a < b</script> 表明 a+m=b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-47">a + m = b</script> 且 a≠b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-48">a \neq b</script>, m≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-49">m \neq 0</script>
由于 m≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-50">m \neq 0</script> 所以
m=(n++)a+(n++)=b(a++)+n=b
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-51">
m = (n++) \\
a + (n++) = b \\
(a++) + n = b
</script>
所以
a≤b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-52">a \leq b</script>
再证明 a++≤b⟹a<b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-53">a++ \leq b \Longrightarrow a < b</script>
(a++)+m=ba+(m++)=b
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-54">
(a++) + m = b\\
a + (m++) = b
</script>
所以
a++≤b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-55">a++ \leq b</script>
由于 m++≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-56">m++ \neq 0</script> 所以 a≠b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-57">a \neq b</script>
(f) a < b 当且仅当对某个正数 d。b = a + d
先证明 a<b⟹b=a+d<script type="math/tex" id="MathJax-Element-58">a < b \Longrightarrow b = a + d</script>
a<b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-59">a < b</script> 所以
a+d=bd≠0
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-60">a + d = b\\
d \neq 0</script>
所以 d<script type="math/tex" id="MathJax-Element-61">d</script> 是正数
b=a+d
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-62">b = a + d</script>
再证明 b=a+d⟹a<b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-63">b = a + d \Longrightarrow a < b </script>
b=a+d⟹a≤b
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-64">b = a + d \Longrightarrow a \leq b</script>
由于 d≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-65">d \neq 0</script>。 所以 b≠a<script type="math/tex" id="MathJax-Element-66"> b \neq a</script>。 所以 a<b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-67">a < b</script>
证毕
2.2.4 验证命题 2.2.13 的三个子命题
(1) 证明 0≤b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-68">0 \leq b</script> 对于一切 b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-69">b</script> 成立
由于：0+b=b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-70">0 + b = b</script>
所以 : 0≤b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-71">0 \leq b</script>
证毕
(2) 若 a>b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-72">a > b</script> 证明 a++>b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-73">a++ > b</script>
若 a>b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-74">a > b</script>。则有 a=b+m<script type="math/tex" id="MathJax-Element-75"> a = b + m</script>。且 m≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-76">m \neq 0</script>
a++=(b+m)++=b+m++a++>b
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-77">
a++ = (b + m)++ = b + m++ \\
a++ > b
</script>
证毕
(3) 若 a=b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-78">a = b</script> 则 a++>b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-79">a++ > b</script>
由于：a=b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-80">a = b</script>
所以：(a++)=(b++)=b+1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-81">(a++) = (b++) = b + 1</script>
所以：a++>b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-82">a++ > b</script>
证毕
2.2.5 证明命题 2.2.14
前提：若 P(m′)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-83">P(m')</script> 对于一切 m0≤m′<m<script type="math/tex" id="MathJax-Element-84">m_0 \leq m' < m</script> 成立。则 P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-85">P(m)</script> 也成立。
证明：P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-86">P(m)</script> 对于一切 m0≤m<script type="math/tex" id="MathJax-Element-87">m_0 \leq m </script> 都成立。
定义一个性质 Q(n)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-88">Q(n)</script> 。当命题 P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-89">P(m)</script> 对于一切 m0≤m<n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-90">m_0
\leq m < n</script> 成立时为真，否则为假。
在 P(m′)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-91">P(m')</script> 对于一切 m0≤m′<m<script type="math/tex" id="MathJax-Element-92">m_0 \leq m' < m</script> 成立 这个前提成立的情况下 Q(m0)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-93">Q(m_0)</script> 为真，P(m0)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-94">P(m_0)</script> 为真。
如果当 n=n′>m0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-95">n = n' > m_0</script> 时， Q(n′)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-96">Q(n')</script> 成立，也就是说 P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-97">P(m)</script> 对于一切 m0≤m<n′<script type="math/tex" id="MathJax-Element-98">m_0
\leq m < n’</script> 成立。由前提，可知 P(n′)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-99">P(n’)</script> 也成立。
所以： P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-100">P(m)</script> 对于一切 m0≤m<n′+1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-101">m_0 \leq m < n'+ 1</script> 成立。也就是说 Q(n′+1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-102">Q(n'+1)</script> 成立。
所以 Q(n)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-103">Q(n)</script> 对于一切的 n>m0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-104">n > m_0</script> 成立。
所以 P(n−1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-105">P(n-1)</script> 对于一切的 n>m0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-106">n > m_0</script> 成立。
所以P(n)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-107">P(n)</script> 对于一切的 n>m0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-108">n > m_0</script> 成立。
证毕
2.2.6 证明向后归纳原理
条件：若 P(m++)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-109">P(m++)</script> 成立，则 P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-110">P(m)</script> 成立。
命题：若 P(n)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-111">P(n)</script> 成立。则对于一切 m≤n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-112">m \leq n</script>，P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-113">P(m)</script> 成立。
数学归纳法：
当 n = 1 时。若 P(1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-114">P(1)</script> 成立，由条件可知 P(0)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-115">P(0)</script> 成立。
所以 P(1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-116">P(1)</script> 成立时对一切的m≤1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-117">m \leq 1</script> 有，P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-118">P(m)</script> 成立，命题是成立的。
如果当 n=n′<script type="math/tex" id="MathJax-Element-119">n = n'</script> 时。命题成立，即 P(n′)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-120">P(n')</script>成立可推导出对一切的 m≤n′<script type="math/tex" id="MathJax-Element-121">m \leq n'</script> 都有 P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-122">P(m)</script> 成立。
那么当 n=n′+1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-123">n=n'+1</script> 时。P(n′+1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-124">P(n'+1)</script> 成立，由条件可得 P(n′)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-125">P(n')</script> 成立。
由上面如果，对一切的 m≤n′<script type="math/tex" id="MathJax-Element-126">m\leq n'</script> 都有 P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-127">P(m) </script>成立，再加上P(n′+1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-128">P(n'+1)</script> 成立，就有对一切的 m≤n'+1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-129">m\leq n′+1</script> 都有 P(m)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-130">P(m) </script>成立。
所以对于一切的 n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-131">n</script>。命题都成立。
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