此问题来源于模糊C均值聚类的推导过程
符号定义：{xi,i=1,2,⋯,n}是n个样本组成的样本集合，c为预定的类别数目，μi,i=1,2,⋯,c每一个聚类的中心，μj(xi)是第i个样本对于第j类的隶属度函数，且其满足例如以下关系式：
∑j=1cμj(xi)=1i=1,2,⋯,c(1)
用隶属度函数定义的聚类损失函数能够写为：
Jf=∑j=1c∑i=1n[μj(xi)]b∥∥xi−μj∥∥2(2)
当中。
b>1是一个能够控制聚类结果的隶属度程度的常数。
令Jf对μj(xi)求偏导，并令偏导结果为0，可得：
μj(xi)=[1/∥∥xi−μj∥∥2]1/(b−1)∑k=1c[1/∥∥xi−μk∥∥2]1/(b−1)i=1,2,⋯,nj=1,2,⋯,c(3)
The Question is:
How to get the result (3) from (2) ?
Solution: Thanks to Mr.H
记 g=∑j=1cμj(xi)−1，则原问题可描写叙述为：在 g=0 的条件下， 求Jf最小。
使
Jf−λg
对
μj(xi),j=1,2,⋯,c 求偏导。
得：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪b⋅[μ1(xi)]b−1⋅∥xi−μ1∥2b⋅[μ2(xi)]b−1⋅∥xi−μ2∥2⋯b⋅[μc(xi)]b−1⋅∥xi−μc∥2∑j=1cμj(xi)−1=λ=λ=λ=0,i=1,2,⋯,n
即：
λb=[μj(xi)]b−1⋅∥xi−μj∥2,{i=1,2,⋯,nj=1,2,⋯,c(1)
(λb)1/(b−1)=μj(xi)⋅[∥xi−μj∥2]1/(b−1),{i=1,2,⋯,nj=1,2,⋯,c(2)
μj(xi)=(λb)1/(b−1)⋅[1/∥xi−μj∥2]1/(b−1),{i=1,2,⋯,nj=1,2,⋯,c(3)
而后：
∵
∑j=1cμj(xi)=1,i=1,2,⋯,c
∴ 式(3)变为:
(λb)1/(b−1)∑j=1c[1/∥xi−μj∥2]1/(b−1)=1
(λb)1/(b−1)=1∑j=1c[1/∥xi−μj∥2]1/(b−1)(4)
(4)→(2)。得：
1∑j=1c[1/∥xi−μj∥2]1/(b−1)=μj(xi)⋅[∥xi−μj∥2]1/(b−1),{i=1,2,⋯,nj=1,2,⋯,c
即：
μj(xi)=[1/∥∥xi−μj∥∥2]1/(b−1)∑k=1c[1/∥∥xi−μk∥∥2]1/(b−1),{i=1,2,⋯,nj=1,2,⋯,c
