【UR #8】宿命多项式

有个多项式\(f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\)。规定\(i=0..n,f(i)\in[1,c_i]\)。问有多少组合法的\(a_i\)（\(a_i\)都是整数）

\(n\le 6\)

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为了方便把范围定成\([0,c_i-1]\)。

首先写成下降幂多项式，好处是：\(f(i)\)的表达式可以由\(a_{0..i}\)确定。设\(f(x)=\sum_{i=0}^n q_i x^{\underline i}\)。

假如决定了\(q_{0..i-1}\)，对于\(f(i)\)的表达式，要求：\(0\le q_ii!+\sum_{j=0}^{i-1}q_ji^{\underline j}<c_i\)。设\(C=\sum_{j=0}^{i-1}q_ji^{\underline j}\)，则解的个数为\(\lfloor\frac{c_i}{i!}\rfloor+[c_i\mod i!>c\mod i!]\)。

注意到\(q_ji^{\underline j}=(q_j\mod (i-j)!)i^{\underline j} \pmod {i!}\)。这样我们就将需要知道的\(q_j\)的取值限定了。

设\(r_i=q_i\mod (n-i)!\)。枚举\(r_i\)。

于是对于\(f(i)\)，令\(q_i=(n-i)!t+r_i\)，则要求：\(0\le (n-i)!i!t+r_ii!+\sum_{j=0}^{i-1}q_ji^{\underline j}<c_i\)。

类似地，需要求出\((r_ii!+\sum_{j=0}^{i-1}q_ji^{\underline j})\mod (n-i)!i!\)，它等于\(\sum_{j=0}^i r_ii^{\underline j}\mod (n-i)!i!\)。（因为\((n-i)!i!|(n-j)!i^{\underline j}\)，相除就是个组合数）

于是就得到了：\(O(n\prod_{i=0}^{n} i!)\)的时间。

然后可以最后枚举\(r_0\)。可以发现根据每个位置的贡献不同将\(r_0\)分段，位置\(i\)会分出\(O(\frac{n}{(n-i)!i!})\)段，加起来刚好就是\(O(2^n)\)。搞一搞可以将时间中的一个\(n!\)换成\(2^n\lg 2^n\)。题解说这个\(\lg\)可以去掉说是用计数排序（好像要离线一下排序量比较大的时候才做）。

然而感觉常数才是最大的问题，卡不过去，TLE90爬

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using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
const int N=6;
const int mo=998244353;
const double _mo=1.0/mo;
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			r=r*x%mo;
	return r;
}
int n;
ll fac[N+1];
ll c[N+1];
ll r[N+1],C[N+1],f[N+1],tran[(N+1)*2],g[N+1],b[N+1];
ll ans;
pair<int,int> q[1<<N+2];
void dfs(int i){
	if (i>n){
		int k=0;
		q[k++]=mp(0,0);
		q[k++]=mp(g[0],0);
		for (int j=1;j<=n;++j){
			ll m=fac[j]*fac[n-j];
			for (int t=0;t*m-C[j]<fac[n];++t){
				q[k++]=mp(t*m-C[j],j);
				q[k++]=mp(t*m+g[j]-C[j],j);
			}
		}
		sort(q,q+k);
		//return;
		int cnt0=0;
		ll pro=1;
		for (int j=0;j<=n;++j){
			b[j]=0;
			if (f[j]==0) cnt0++; else pro=pro*f[j]%mo;
		}
		ll lst=0;
		for (int t=0;t<k && q[t].fi<fac[n];++t){
			if (lst<q[t].fi){
				if (!cnt0)
					ans+=pro*(q[t].fi-lst);
				lst=q[t].fi;
			}
			int w=q[t].se;
			if (f[w]){
				pro=pro*tran[w<<1|b[w]]%mo;
				//pro*=tran[w<<1|b[w]];
				//pro=pro-(ll)(pro*_mo)*mo;
			}
			else
				cnt0+=(b[w]?1:-1);
			b[w]^=1;
		}
		if (!cnt0)
			ans+=pro*(fac[n]-lst);
		ans%=mo;
		return;
	}
	C[i]=0;
	ll m=fac[i]*fac[n-i];
	for (int j=0;j<i;++j)
		C[i]=(C[i]+r[j]*(fac[i]/fac[i-j]))%m;
	for (int v=0;v<fac[n-i];++v){
		r[i]=v;
		dfs(i+1);
		C[i]=(C[i]+fac[i])%m;
	}
}
int main(){
	fac[0]=1;	
	for (int i=1;i<=N;++i)
		fac[i]=fac[i-1]*i;
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d",&n);
		for (int i=0;i<=n;++i)
			scanf("%lld",&c[i]);
		ans=0;
		for (int i=0;i<=n;++i){
			f[i]=c[i]/(fac[i]*fac[n-i]);
			tran[i<<1]=qpow(f[i])*(f[i]+1)%mo;
			tran[i<<1|1]=qpow(f[i]+1)*(f[i])%mo;
			g[i]=c[i]%(fac[i]*fac[n-i]);
		}
		dfs(1);
		ans%=mo;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}